Das Spektrum freier Teilchen (Elektronen) ist

\[E_{\vec{k}}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}. \]

Die Zustandsdichte ist definiert als

\[\rho\left(E\right)=\sum_{k}\delta\left(E-E_{\vec{k}}\right)=\frac{V}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\mathrm{d}^{3}\vec{k}\,\delta\left(E-E_{\vec{k}}\right).\]

Es ergibt sich

\[\frac{V}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\mathrm{d}^{3}\vec{k}\,\delta\left(E-E_{\vec{k}}\right)=\frac{V}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\mathrm{d}\Omega\,\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}k\, k^{2}\delta\left(E-\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\right)=\]

\[=\frac{V}{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}k\, k^{2}\delta\left(E-\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\right)\]

Man benutzt die Substitution

\[x=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\Rightarrow\mathrm{d}k=\frac{m}{\hbar^{2}k}\mathrm{d}x.\]

Und erhält

\[\frac{V}{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}k\, k^{2}\delta\left(E-\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\right)=\frac{V}{2\pi^{2}}\sqrt{\frac{2m^{3}}{\hbar^{6}}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,\sqrt{x}\delta\left(x-E\right)=\frac{V}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\sqrt{2m^{3}E}\Theta\left(E\right)\]