Aufgabe


Ein Wasserstoffatom befindet sich in einem (zeitabhängigen) elektrischen Feld

\[\vec{E}=E\left(t\right)\hat{z}\]
. Berechne alle vier Matrixelemente
\[H_{ij}^{\prime}\]
  des Störterms
\[H^{\prime}=eEz\]
  bezüglich des Grundzustandes
\[\left(n=1\right)\]
  und der (vierfach entarteten) ersten angeregten Zustände
\[(n=2)\]
. Zeige außerdem, dass für alle fünf Zustände
\[H_{ii}^{\prime}=0\]
  gilt.

Lösung


Der Hamiltonian des Wasserstoffatoms lautet:

\[H=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}\]


Die vollständige Basis der Lösungen sei mit
\[\mid nlm\rangle\]
  bezeichnet, wobei
\[n=1,2,...;\, l=0,1,...,n-1;\, m=-l,-l+1,...,l-1,l.\]


• Es gilt
\[P\mid nlm\rangle=\left(-1\right)^{l}\mid nlm\rangle\]
,

wobei

\[P\]
  der Paritätsoperator ist.

Es folgt

\[Pz\mid\Psi\rangle=-zP\mid\Psi\rangle\]
  und deswegen

\[\langle nlm\mid z\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle=\langle nlm\mid zP^{2}\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle=-\langle nlm\mid PzP\mid^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle\]

\[=-\langle nlm\mid\left(-1\right)^{l}z\left(-1\right)^{l^{\prime}}\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle=-\left(-1\right)^{l+l^{\prime}}\langle nlm\mid z\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle\]

\[ \Rightarrow\text{falls }l+l^{\prime}\text{ gerade }\Rightarrow\langle nlm\mid z\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle=0\]


• Es gilt
\[\left[L_{z},z\right]=0 , da L_{z}=xp_{y}-yp_{x}\]
.

Es folgt:

\[0=\langle nlm\mid\left[L_{z},z\right]\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle=\left(m-m^{\prime}\right)\langle nlm\mid z\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle\]

\[\Rightarrow\text{falls }m\neq m^{\prime}\Rightarrow\langle nlm\mid z\mid n^{\prime}l^{\prime}m^{\prime}\rangle=0\]


Für das gegebene Problem muss man folgende Matrixelemente betrachten:

\[\langle100\mid z\mid200\rangle,\,\langle100\mid z\mid210\rangle,\,\langle100\mid z\mid21\pm1\rangle\]

und

\[\langle100\mid z\mid100\rangle,\,\langle200\mid z\mid200\rangle,\,\langle210\mid z\mid210\rangle,\,\langle21\pm1\mid z\mid21\pm1\rangle.\]

Aus den Punkten oben folgt dass man nur noch das nichtverschwindende Matrixelement

\[\langle100\mid z\mid210\rangle\]
  berechnen muss. Dies geschieht explizit über die Darstellung der Wellenfunktion in Radialfunktion und Kugelfächenfunktionen. Als Ergebnis ergibt sich:

\[\langle100\mid z\mid210\rangle=\sqrt{2}\frac{128}{243}a_{B}\approx0.745a_{B}\]