Ein Teilchen mit der Energie E und Masse m trifft auf eine konstante Potentialbarriere

\[U_{0}>E\]
. Wie sieht die Wellenfunktion aus und mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Teilchen durch die Barriere hindurchtunneln (Reflexion vernachlässigt)?

1 Aufstellen der stationären Schrödingergleichung

\[H\Psi=E\Psi\]

Teil I (vor der Barriere) 

\[x<0\]
:

\[H=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}\]

\[\vec{p}=-i\hbar\vec{\nabla}\]

\[-\frac{\hbar^{2}\partial_{x}^{2}}{2m}\Psi=E\Psi\rightarrow\text{sin/cos-Ansatz oder }e^{ix},e^{-ix}\text{-Ansatz}\]

Teil II (in der Barriere) 

\[0<x<L\]
:

\[H=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}+U_{0}\]

\[\left[-\frac{\hbar^{2}\partial_{x}^{2}}{2m}-U_{0}\right]\Psi=E\Psi\Leftrightarrow-\frac{\hbar^{2}\partial_{x}^{2}}{2m}\Psi=\overset{<0}{\overbrace{\left(E-U_{0}\right)}}\Psi\rightarrow\text{Exponentialansatz}\]

Teil III (nach der Barriere) 

\[L<x\]
: wie Teil I

2 Ansatz für die Wellenfunktion

\[\Psi(x)=\begin{cases}A_{1}e^{ikx}+A_{2}e^{-ikx} & x<0\\A_{3}e^{qx}+A_{4}e^{-qx} & 0<x<L\\A_{5}e^{ikx}+A_{6}e^{-ikx} & x>L\end{cases}\]

Imaginäre Exponenten mit positiven Vorzeichen beschreiben Wellen, die von links nach rechts laufen, mit negativen Vorzeichen von rechts nach links. 

\[A_{1}\]
 (Amplitude des einfallenden Teilchens) kann gleich 1 gesetzt werden, wegen der Normierungsbedingung. 
\[A_{2}\]
 ist die Amplitude des reflektierten Anteils, welchen wir hier vernachlässigen wollen, also 
\[A_{2}=0. A_{3}\]
 wird ebenfalls vernachlässigt, da die Welle in der Potentialbarriere nicht verstärkt wird. 
\[A_{6}=0\]
, da das Teilchen von links nach rechts läuft und im unendlichen nicht reflektiert werden kann.

Somit ergibt sich:

\[\Psi(x)=\begin{cases}e^{ikx} & x<0\\A_{4}e^{-qx} & 0<x<L\\A_{5}e^{ikx} & x>L\end{cases}\]

3 Stetigkeitsbediungungen

Die Wellenfunktion, wie auch ihre erste Ableitung müssen stetig sein. Dies liefert:

\[\Psi_{I}(0)=\Psi_{II}(0)\Leftrightarrow1=A_{4}\]

\[\Psi_{II}(L)=\Psi_{III}(L)\Leftrightarrow e^{-qL}=A_{5}e^{ikL}\]

damit:

\[\Psi(x)=\begin{cases}e^{ikx} & x<0\\e^{-qx} & 0<x<L\\A_{5}e^{ikx} & x>L\end{cases}\]

Die erste Ableitung wird hier nicht benötigt.

4 Transmissionswahrscheinlichkeit

Die Transmissionswahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat der austretenden Welle nach der Barriere dividiert durch das Betragsquadrat der einfallenden Welle vor der Barriere:

\[T=\frac{|\Psi_{III}(x)|^{2}}{|\Psi_{I}(x)|^{2}}=e^{-2qL}\]

q lässt sich durch Einsetzen in die Schrödingergleichung bestimmen:

\[\frac{\hbar^{2}\partial_{x}^{2}}{2m}\Psi_{II}(x)=(U_{0}-E)\Psi_{II}(x)\]

\[\frac{\hbar^{2}\partial_{x}^{2}}{2m}e^{-qx}=(U_{0}-E)e^{-qx}\]

\[\frac{\hbar^{2}}{2m}q^{2}=U_{0}-E\Rightarrow q=\sqrt{\frac{2m(U_{0}-E)}{\hbar^{2}}}\]