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Das Elektron im Wasserstoffatom befindet sich zur Zeit

\[t=0\]
 in einem Zustand, der durch die Wellenfunktion

\[\psi(\vec{r},t=0)=N\left(4\phi_{100}(\vec{r})+3\phi_{211}(\vec{r})-\phi_{210}(\vec{r})+2\phi_{21-1}(\vec{r})+\sqrt{6}\phi_{311}(\vec{r})\right)\]

beschrieben wird. Dabei sind die 

\[\phi_{nlm}(\vec{r})\]
 die normierten Wasserstoffeigenfunktionen zur Energie 
\[E_{n}\]
.

1. Berechnen Sie den Normierungsfaktor N und geben Sie die Wellenfunktion
\[\psi(\vec{r},t)\]
für Zeiten 
\[t>0\]
 an.

\[|\psi|^{2}=1\langle\psi\mid\psi\rangle=N^{2}(16+9+1+4+6)=36N^{2}=1\Rightarrow N=\frac{1}{6}\]

Zeitabhängige Wellenfunktion:

\[\psi(\vec{r},t)=N\cdot\sum_{nlm}c_{nlm}\phi_{nlm}e^{-\frac{iE_{n}t}{\hbar}}=\]

\[=N\left(4\phi_{100}e^{-\frac{iE_{1}t}{\hbar}}+3\phi_{211}e^{-\frac{iE_{2}t}{\hbar}}-\phi_{210}e^{-\frac{iE_{2}t}{\hbar}}+2\phi_{21-1}e^{-\frac{iE_{2}t}{\hbar}}+\sqrt{6}\phi_{311}e^{-\frac{iE_{3}t}{\hbar}}\right)\]

2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt eine Messung an diesem Zustand die Ergebnisse
\[E=E_{2}, \vec{L}^{2}=2\hbar^{2}\]
 und 
\[L_{z}=\hbar\]
? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeder der drei Werte bei einer individuellen Messung gefunden?

Allgemein:

\[P(nlm)=|\langle\phi_{nlm}\mid\psi\rangle|^{2}\]

Zunächst die Ergebnisse für die individuellen Messungen:

\[E=E_{2}\Rightarrow n=2\]

\[P(2lm)=|\langle2lm\mid\psi\rangle|^{2}=\frac{1}{36}\left(9+1+4\right)=\frac{14}{36}\]

\[\vec{L}^{2}=2\hbar^{2}\Rightarrow l=1\]

\[P(n1m)=|\langle n1m\mid\psi\rangle|^{2}=\frac{1}{36}\left(9+1+4+6\right)=\frac{20}{36}\]

\[L_{z}=\hbar\Rightarrow m=1\]

\[P(nl1)=|\langle nl1\mid\psi\rangle|^{2}=\frac{1}{36}\left(9+6\right)=\frac{15}{36}\]

 

Nun alle Bediungungen zusammen:

\[P(211)=|\langle211\mid\psi\rangle|^{2}=\frac{9}{36}\]

3. Wie groß sind die Erwartungswerte der Energie, des Quadrats des Drehimpulses sowie der z-Komponente des Drehimpulses?

Erwartungswert der Energie:

\[\langle\psi\mid H\mid\psi\rangle=\frac{1}{36}\left[16\langle100\mid H\mid100\rangle+9\langle211\mid H\mid211\rangle+\langle210\mid H\mid210\rangle+4\langle21-1\mid H\mid21-1\rangle+6\langle311\mid H\mid311\rangle\right]=\]

\[=\frac{1}{36}\left[16E_{1}+9E_{2}+E_{2}+4E_{2}+6E_{3}\right]\]

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Erwartungswert des Drehimpulsquadrats:

\[\langle\psi\mid\vec{L}^{2}\mid\psi\rangle=\frac{1}{36}\left[16\cdot0\cdot\hbar^{2}+9\cdot2\hbar^{2}+2\hbar^{2}+4\cdot2\hbar^{2}+6\cdot2\hbar^{2}\right]=\frac{1}{36}\cdot40\hbar^{2}=\frac{10}{9}\hbar^{2}\]

Erwartungswert der z-Komponente des Drehimpulses:

\[\langle\psi\mid L_{z}\mid\psi\rangle=\frac{1}{36}\left[16\cdot0\cdot\hbar+9\cdot\hbar+0\hbar+4\cdot(-1)\hbar+6\hbar\right]=\frac{11}{36}\hbar\]

{include_content_item 198}