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Eine Wellenfunktion (in Kugelkoordinaten) lautet

\[\Psi\left(\varphi,\vartheta,r\right)=N\cdot r\cos(\vartheta)\exp\left(-\frac{\alpha}{2}r\right)\]

Man berechne N aus der Normierungsbedinung.

Die Normierungsbedingung lautet:

\[\int\Psi^{*}\left(\varphi,\vartheta,r\right)\Psi\left(\varphi,\vartheta,r\right)d^{3}r=1\]

\[\Rightarrow\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}d\vartheta\int_{0}^{\infty}dr\cdot r^{2}\sin(\vartheta)N^{2}r^{2}\cos^{2}(\vartheta)\exp\left(-\frac{2\alpha}{2}r\right)=(*)\]

\[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(\vartheta)\sin(\vartheta)d\vartheta=\left[-\frac{1}{3}\cos^{3}(\vartheta)\right]_{0}^{\pi}=\frac{2}{3}\]

\[(*)=\frac{4\pi}{3}N^{2}\int_{0}^{\pi}dr\cdot r^{4}\exp\left(-\alpha r\right)=\frac{4\pi}{3}N^{2}\frac{4!}{\alpha^{5}}=1\]

\[\Rightarrow N=\sqrt{\frac{3\alpha^{5}}{4\cdot4!\pi}}\]

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