{include_content_item 178}Es befindet sich ein Teilchen der Masse m im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden mit dem Potenzial

\[V\left(x\right)=\begin{cases}
\infty, & x<0;\\
0, & 0\le x\le a;\\
\infty, & x>a.\end{cases}\]

Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich das Teilchen in folgendem Zustand:

\[\Psi\left(x,t=0\right)=\sqrt{\frac{8}{5a}}\left(1+\cos(\frac{\pi x}{a})\right)\sin(\frac{\pi x}{a})\]

Folgende Fragen stellen sich:

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Eigenzustand
    \[\psi_n\left(x\right)\]
    zu finden?

  2. Wie lautet die Wellenfunktion
    \[\Psi\left(x,t\right)\]
    für Zeiten nach
    \[t=0\]

  1. Die Eigenfunktionen sehen so aus:
    \[\phi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi x}{a})\]


    Drücke also
    \[\Psi\]
    in den Eigenfunktionen aus.
    \[\Psi\left(x,t=0\right)=\sqrt{\frac{8}{5a}}\left(1+\cos(\frac{\pi x}{a})\right)\sin(\frac{\pi x}{a})=\sqrt{\frac{8}{5a}}\sin(\frac{\pi x}{a})+\sqrt{\frac{8}{5a}}\sin(\frac{\pi x}{a})\cos(\frac{\pi x}{a})=\]

    \[=\sqrt{\frac{8}{5a}}\sin(\frac{\pi x}{a})+\sqrt{\frac{2}{5a}}\sin(\frac{2\pi x}{a})=\frac{2}{\sqrt{5}}\Psi_{1}(x)+\frac{1}{\sqrt{5}}\Psi_{2}(x)=\frac{2}{\sqrt{5}}\mid1\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}}\mid2\rangle=\mid\Psi\rangle\]


    Hier wurde die Identität 
    \[\sin(\frac{\pi x}{a})\cos(\frac{\pi x}{a})=\frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi x}{a})\]
     verwendet.

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit den Zustand 
    \[\phi_{n}(x)=\mid n\rangle\]
     zu messen?
    Allgemeine Formel:
    \[P(n)=|\langle n\mid\Psi\rangle|^{2}\]


    Also:
    \[P(1)=|\langle1\mid\Psi\rangle|^{2}=|\langle1\mid\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\mid1\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}}\mid2\rangle\right)|^{2}=\]

    \[=|\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\overset{=1}{\overbrace{\langle1\mid1\rangle}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\overset{=0}{\overbrace{\langle1\mid2\rangle}}\right)|^{2}=\]

    \[=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\ right)^{2}=\frac{4}{5}\]


    \[P(2)=\frac{1}{5}\]

    {include_content_item 182}
  2. Zeitentwicklung
    Die Zeitentwicklung für einen Grundzustand lautet:
    \[\phi_{n}(x,t)=e^{-\frac{i\cdot E_{n}\cdot t}{\hbar}}\mid n\rangle\]


    Also folgt für die Zeitentwicklung des Zustandes 
    \[\Psi(x)\]
    :
    \[\Psi(x,t)=\sum_{n}c_{n}\phi_{n}(x,t)=\frac{2}{\sqrt{5}}e^{-\frac{i\cdot E_{1}\cdot t}{\hbar}}\mid1\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}}e^{-\frac{i\cdot E_{2}\cdot t}{\hbar}}\mid2\rangle=\]

    \[=\sqrt{\frac{8}{5a}}\exp\left(-\frac{i\hbar\pi^{2}t}{2ma^{2}}\right)\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\sqrt{\frac{2}{5a}}\exp\left(-\frac{i2\hbar\pi^{2}t}{ma^{2}}\right)\sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\]


    Wobei 
    \[E_{n}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2a^{2}m}\]
     die Grundzustandsenergien und die 
    \[c_{n}=\langle n\mid\Psi\rangle\]
     sind.