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Es sei ein eindimensionales Potenzial

\[V\left(x\right)=-V_0\cdot\delta\left(x\right)\]
mit
\[V_0>0\]

gegeben.

 

Was ergibt sich für die Wellenfunktionen mit
\[E<0\]
und
\[E>0\]
?

 

Der Hamilton-Operator für ein freies Teilchen lautet:

\[H=-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\partial_x^2+V\left(x\right)=-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\partial_x^2-V_0\cdot\delta\left(x\right)\]

Also haben wir die stationäre Schrödingergleichung:

\[H\Psi\left(x\right)=E\Psi\left(x\right)\leftright\]

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\partial_x^2\Psi\left(x\right)=(E+V_0\cdot\delta\left(x\right))\Psi\left(x\right)\]

 

Hier kann man durch Integration über x von (

\[-\epsilon\]
bis
\[\epsilon\]
) eine Nebenbedingung extrahieren:

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\left{\partial_x\Psi|_{x=\epsilon}-\partial_x\Psi|_{x=-\epsilon}\right}=\int_{-\epsilon}^{\epsilon}E\Psi\left(x\right)+V_0\cdot\Psi\left(0\right)\]

 

Im limes geht das Integral über

\[E\cdot\Psi\]
gegen Null und man erhält:

\[\lim_{\epsilon\right0}\left{\partial_x\Psi|_{x=\epsilon}-\partial_x\Psi|_{x=-\epsilon}\right}=-\frac{2m}{\hbar^2}\cdot V_0\cdot\Psi\left(0\right)\]
\[[I]\]

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Wir betrachten zuerst Energien gebundener Zustände
\[E<0\]
:

Außerhalb des Ursprungs hat man die Schrödingergleichung eines freien Teilchens. Deshalb macht man dort den Ansatz einer Welle:

\[\Psi\left(x\right)=Ae^{-kx}+Be^{kx}\]
für
\[\left|x\right|>0\]

 

damit ergibt sich

\[k=\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}\]
welches reell ist, da
\[E<0\]

 

Damit die Wellenfunktion quadratintegrabel ist, darf sie keinen exponentiell ansteigenden Term enthalten, außerdem muss sie im Nullpunkt stetig sein, also:

\[\Psi\left(x\right)=Ae^{kx}\]
für
\[x<0\]

und

\[\Psi\left(x\right)=Ae^{-kx}\]
für
\[x>0\]

 

setzt man dies in

\[[I]\]
ein, dann ergibt sich:

\[-kA-kA=-\frac{2m}{\hbar^2}\cdot V_0\cdot A\]

\[\leftright k=\frac{m}{\hbar^2}\cdot V_0\]

 

oben in die Gleichung für die Energie eingesetzt hat man dann für

\[E\]
:

\[E=-\frac{m\cdot V_0^2}{2\hbar^2}\]

Also gibt es nur einen zulässigen Energiewert. Für die Normierungskonstante ergbit sich

\[A=\sqrt{\frac{m\cdot V_0}{\hbar^2}}\]

Nun eine ebene Welle mit Energie größer null:

Eine Welle laufe von links nach rechts (positiver Wellenvektor) ein:

\[\Psi^{ein}\left(x\right)=Ae^{ikx}\]

Sie wird am Deltapotential gestreut, also teilweise durchgelassen und teilweise reflektiert. Deswegen ergibt sich in der stationären Lösung folgende Aufteilung:

\[\Psi^{links}=\Psi^{ein}+\Psi^{ref}=\]

\[Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\]
für
\[x<0\]

 

\[\Psi^{rechs}=\Psi^{trans}=\]

\[Ce^{ikx}\]
für
\[x<0\]

 

Stetigkeit bei null ergibt:

\[A+B=C\]

Bedingung

\[[I]\]
ergibt:

\[ik(C-A+B)=-\frac{2mV_0}{\hbar^2}\cdot C\]

 

Dieses Gleichungssystem lässt sich leicht lösen:

\[B=\frac{-v}{v+2ik}\cdot A\]


\[C=\frac{2ik}{v+2ik}\cdot A\]

wobei

\[v=\frac{2mV_0}{\hbar^2}\]

Reflexions- und Transmissionskoeffizienten:

Für den Reflexionskoeffizienten ergibt sich:

\[R=\frac{\left|\Psi^{ref}\right|^2}{\left|\Psi^{ein}\right|^2}_{x=0}=\frac{\left|B\right|^2}{\left|A\right|^2}=\frac{m^2V_0^2}{m^2V_0^2+\hbar^4k^2}\]

Für den Transmissionskoeffizienten:

\[T=\frac{\left|\Psi^{trans}\right|^2}{\left|\Psi^{ein}\right|^2}_{x=0}=\frac{\left|C\right|^2}{\left|A\right|^2}=\frac{\hbar^4k^2}{m^2V_0^2+\hbar^4k^2}\]

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