{include_content_item 196}

{include_content_item 197}

Ein Teilchen der Masse m befinde sich im Potenzial

\[V(x)=\begin{cases} \infty & x \geq 0 \\ 0 & |x|\leq \frac{L}{2} \end{cases}\]

mit einer Energie

\[E\]
, die größer als 0 ist.

 

Der Hamilton-Operator ergibt sich im inneren des Potenzialtopfs zu:

\[H=\frac{\vec{p}^2}{2\cdot m}=-\frac{\hbar^2\vec{\nabla}^2}{2\cdot m}\]

mit

\[\vec{p}=i\cdot \hbar\vec{\nabla}\]

 

Da das Potenzial eine Paritätssymmetrie besitzt, sich also beim Übergang 

\[x\mapsto -x\]
nicht ändert, kann man die Lösungen in zwei Klassen, die symmetrischen
\[\Psi^{s}\]
und antisymmetrischen
\[\Psi^a\]
Lösungen unterteilen.

 

Wir machen einen Ansatz für die jeweiligen Wellenfunktionen:

\[\Psi^{s}=A\cdot\cos(k_n\cdot x)\]

\[\Psi^{a}=B\cdot\sin(k_n\cdot x)\]

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung bekommt man den Ausdruck für

\[k_n\]
:

\[H\Psi=E\Psi\]


\[-\frac{\hbar^2\partial^2_x}{2\cdot m}\Psi=E\Psi\]

\[\frac{\hbar^2{k_n}^2}{2\cdot m}\Psi=E\Psi\]

\[\right k_n=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\]

{include_content_item 182}

Die Wellenfunktion muss die Anschlussbedingungen bei

\[x=\pm\frac{L}{2}\]
erfüllen. Das heißt sie muss identisch Null sein außerhalb des Potenzialtopfs (kein Teilchen kann dort sein, wo das Potential unendlich ist):

Für die symmetrische Wellenfunktion

\[\Psi^s\]
:

\[\Psi^s(\pm\frac{L}{2})=^!0\]

\[A\cdot\cos(k_n\cdot \frac{L}{2})=0\]

\[\leftrightarrow k_n\cdot \frac{L}{2}=\frac{2n+1}{2}\cdot \pi\]
mit
\[n\in \mathbb N\]

\[\leftrightarrow k_n=\frac{(2n+1)\pi}{L}\]
mit
\[n\in \mathbb N\]

Für die antisymmetrische Wellenfunktion

\[\Psi^a\]
:

\[\Psi^a(\pm\frac{L}{2})=^!0\]

\[A\cdot\sin(k_n\cdot \frac{L}{2})=0\]

\[\leftrightarrow k_n\cdot \frac{L}{2}=\frac{2n}{2}\cdot \pi\]
mit
\[n\in \mathbb N\]

\[\leftrightarrow k_n=\frac{2n\cdot\pi}{L}\]
mit
\[n\in \mathbb N\]

 

Damit ergibt sich für die Energien:

\[E_n=\frac{{k_n}^2\hbar^2}{2m}=\frac{{n}^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\]
mit
\[n\in \mathbb N\]

 

Die Normierungsfaktoren A,B ergeben sich aus der Normierungsbedingung:

\[{\left | \Psi \right | }^2=^!1\]

\[\leftrightarrow {\int\Psi^*\cdot \Psi dx=1\]


Einfache Sinus/Kosiuns-Integrale ergeben einen Faktor:

\[A=B=\sqrt{\frac{2}{L}}\]

 

Somit hat man die vollständige Lösung gefunden:

\[\Psi^{s}=\sqrt{\frac{2}{L}}\cdot\cos(k_n\cdot x)\]

\[\Psi^{a}=\sqrt{\frac{2}{L}}\cdot\sin(k_n\cdot x)\]

 

Wellenfunktion (L=10):

Betragsquadrat der Wellenfunktionen (L=10):

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