Die Diedergruppe D4 ist die Symmetriegruppe eines Quadrats, besteht also aus Spiegelungen und Drehungen.

Hier eine Zeichnung dieser Symmetrien:

Die Gruppenelemente:

• Achsenspiegelungen:
$\sigma_1$
,
$\sigma_2$
,
$\sigma_3$
,
$\sigma_3$
• Rotationen (hier im Uhrzeigersinn):
$C_{90}$
,
$C_{180}$
,
$C_{270}$
• Identität:
$I$
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Die Gruppentafel:

 $I$ $C_{90}$ $C_{180}$ $C_{270}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\sigma_3$ $\sigma_4$ $I$ $I$ $C_{90}$ $C_{180}$ $C_{270}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\sigma_3$ $\sigma_4$ $C_{90}$ $C_{90}$ $C_{180}$ $C_{270}$ $I$ $\sigma_3$ $\sigma_4$ $\sigma_2$ $\sigma_1$ $C_{180}$ $C_{180}$ $C_{270}$ $I$ $C_{90}$ $\sigma_2$ $\sigma_1$ $\sigma_4$ $\sigma_3$ $C_{270}$ $C_{270}$ $I$ $C_{90}$ $C_{180}$ $\sigma_4$ $\sigma_3$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\sigma_1$ $\sigma_1$ $\sigma_4$ $\sigma_2$ $\sigma_3$ $I$ $C_{180}$ $C_{270}$ $C_{90}$ $\sigma_2$ $\sigma_2$ $\sigma_3$ $\sigma_1$ $\sigma_4$ $C_{180}$ $I$ $C_{90}$ $C_{270}$ $\sigma_3$ $\sigma_3$ $\sigma_1$ $\sigma_4$ $\sigma_2$ $C_{90}$ $C_{270}$ $I$ $C_{180}$ $\sigma_4$ $\sigma_4$ $\sigma_2$ $\sigma_3$ $\sigma_1$ $C_{270}$ $C_{90}$ $C_{180}$ $I$

Klassen:

• $[I]$
• $[C_{90},C_{270}]$
• $[C_{180}]$
• $[\sigma_1,\sigma_2]$
• $[\sigma_3,\sigma_4]$

nichttriviale Untergruppen:

• invariante Untergruppen:
• $[I,C_{90},C_{180},C_{270}]$
• $[I,\sigma_1,\sigma_2,C_{180}]$
• $[I,\sigma_3,\sigma_4,C_{180}]$
• $[I,C_{180}]$
• nichtinvariante Untergruppen:
• $[I,\sigma_1]$
• $[I,\sigma_2]$
• $[I,\sigma_3]$
• $[I,\sigma_4]$