Einführung in die Gruppentheorie

Die Diedergruppe D4 ist die Symmetriegruppe eines Quadrats, besteht also aus Spiegelungen und Drehungen.

Hier eine Zeichnung dieser Symmetrien:

Die Gruppenelemente:

  • Achsenspiegelungen:
    \[\sigma_1\]
    ,
    \[\sigma_2\]
    ,
    \[\sigma_3\]
    ,
    \[\sigma_3\]
  • Rotationen (hier im Uhrzeigersinn):
    \[C_{90}\]
    ,
    \[C_{180}\]
    ,
    \[C_{270}\]
  • Identität:
    \[I\]
{include_content_item 182}

Die Gruppentafel:


\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_4\]
\[I\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_4\]
\[C_{90}\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_1\]
\[C_{180}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_3\]
\[C_{270}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[I\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[C_{90}\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[C_{180}\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{270}\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[C_{90}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[C_{180}\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[C_{270}\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[I\]

 

Klassen:

  • \[[I]\]
  • \[[C_{90},C_{270}]\]
  • \[[C_{180}]\]
  • \[[\sigma_1,\sigma_2]\]
  • \[[\sigma_3,\sigma_4]\]

nichttriviale Untergruppen:

  • invariante Untergruppen:
    • \[[I,C_{90},C_{180},C_{270}]\]
    • \[[I,\sigma_1,\sigma_2,C_{180}]\]
    • \[[I,\sigma_3,\sigma_4,C_{180}]\]
    • \[[I,C_{180}]\]
  • nichtinvariante Untergruppen:
    • \[[I,\sigma_1]\]
    • \[[I,\sigma_2]\]
    • \[[I,\sigma_3]\]
    • \[[I,\sigma_4]\]

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