Einführung in die Gruppentheorie

Es sei

\[G\]
eine Gruppe,
\[M\]
eine Menge und
\[m\in M\]
.

Es sei eine Gruppenwirkung von G auf M folgendermaßen gegeben:

 

\[G\times M\rightarrow M\]

\[(g,m)\mapsto g\cdot m\]

 

mit

\[g(h\cdot m)=gh\cdot m\]

und

\[I\cdot m=m\]

 

Die Isotropiegruppe (oder auch Stabilisator/Fixgruppe) von m ist gegeben durch:

\[G_{m}=\left\{ g\in G|g\cdot m=m\right\} \]

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Dies ist eine Gruppe:

  1. Abgeschlossenheit:
    Seien
    \[g, h\in G_m\]
    , dann

    \[gh\cdot m=g\cdot hm=g\cdot m=m \Rightarrow gh\in G_m\]
  2. Assoziativität:
    Wird von der Gruppenstruktur von
    \[G\]
    vererbt

  3. Inverses Element:
    sei
    \[g\in G_m\]
    , dann betrachte:

    \[g^{-1}\cdot m=g^{-1}g\cdot m=Im=m \Rightarrow g^{-1}\in G_m\]
  4. neutrales Element:
    ist schon durch die Wirkung gegeben:

    \[I\cdot m=m\]