Einführung in die Gruppentheorie

Die Diedergruppe D4 ist die Symmetriegruppe eines Quadrats, besteht also aus Spiegelungen und Drehungen.

Hier eine Zeichnung dieser Symmetrien:

Die Gruppenelemente:

  • Achsenspiegelungen:
    \[\sigma_1\]
    ,
    \[\sigma_2\]
    ,
    \[\sigma_3\]
    ,
    \[\sigma_3\]
  • Rotationen (hier im Uhrzeigersinn):
    \[C_{90}\]
    ,
    \[C_{180}\]
    ,
    \[C_{270}\]
  • Identität:
    \[I\]
{include_content_item 182}

Die Gruppentafel:


\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_4\]
\[I\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_4\]
\[C_{90}\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_1\]
\[C_{180}\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_3\]
\[C_{270}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[I\]
\[C_{180}\]
\[C_{270}\]
\[C_{90}\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[C_{180}\]
\[I\]
\[C_{90}\]
\[C_{270}\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[C_{90}\]
\[C_{270}\]
\[I\]
\[C_{180}\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_4\]
\[\sigma_2\]
\[\sigma_3\]
\[\sigma_1\]
\[C_{270}\]
\[C_{90}\]
\[C_{180}\]
\[I\]

 

Klassen:

  • \[[I]\]
  • \[[C_{90},C_{270}]\]
  • \[[C_{180}]\]
  • \[[\sigma_1,\sigma_2]\]
  • \[[\sigma_3,\sigma_4]\]

nichttriviale Untergruppen:

  • invariante Untergruppen:
    • \[[I,C_{90},C_{180},C_{270}]\]
    • \[[I,\sigma_1,\sigma_2,C_{180}]\]
    • \[[I,\sigma_3,\sigma_4,C_{180}]\]
    • \[[I,C_{180}]\]
  • nichtinvariante Untergruppen:
    • \[[I,\sigma_1]\]
    • \[[I,\sigma_2]\]
    • \[[I,\sigma_3]\]
    • \[[I,\sigma_4]\]

Einführung in die Gruppentheorie

Einführung in die Gruppentheorie

Es sei

\[G\]
eine Gruppe,
\[M\]
eine Menge und
\[m\in M\]
.

Es sei eine Gruppenwirkung von G auf M folgendermaßen gegeben:

 

\[G\times M\rightarrow M\]

\[(g,m)\mapsto g\cdot m\]

 

mit

\[g(h\cdot m)=gh\cdot m\]

und

\[I\cdot m=m\]

 

Die Isotropiegruppe (oder auch Stabilisator/Fixgruppe) von m ist gegeben durch:

\[G_{m}=\left\{ g\in G|g\cdot m=m\right\} \]

{include_content_item 182}

Dies ist eine Gruppe:

  1. Abgeschlossenheit:
    Seien
    \[g, h\in G_m\]
    , dann

    \[gh\cdot m=g\cdot hm=g\cdot m=m \Rightarrow gh\in G_m\]
  2. Assoziativität:
    Wird von der Gruppenstruktur von
    \[G\]
    vererbt

  3. Inverses Element:
    sei
    \[g\in G_m\]
    , dann betrachte:

    \[g^{-1}\cdot m=g^{-1}g\cdot m=Im=m \Rightarrow g^{-1}\in G_m\]
  4. neutrales Element:
    ist schon durch die Wirkung gegeben:

    \[I\cdot m=m\]

Einführung in die Gruppentheorie

Die Symmetrische Gruppe beschreibt Permutationen. Eine solche "Vertauschung" von Stellen wird dargestellt durch z.B. folgenden Ausdruck:

\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]

Dies bedeutet: Nehme das erste Element und setze es an Stelle Nummer 3. Nehme das 2. Element und setze es an Stelle 2 (lass es da, wo es ist). Nehme das 3. Element und setze es an Stelle 1.

Dies entspricht einer Vertauschung der 1. mit der 3. Stelle (das ist eine Vertauschung an nur 2 Stellen, wofür man auch den Begriff Transposition verwendet).

 

Die Gruppe S3 beinhaltet 6 Elemente:

\[\small\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]

\[\small\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1\end{array}\right)\]

\[\small\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2\end{array}\right)\]

\[\small\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3\end{array}\right)\]

\[\small\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]

\[\small\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3\end{array}\right)\]

Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:

\[I\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[I\]
\[I\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[I\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[I\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[I\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[I\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
2 & 3\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
1 & 3\end{array}\right)\]
\[I\]
\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\end{array}\right)\]

Einführung in die Gruppentheorie