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Die Determinante einer

\[n\times n\]
-Matrix brerechnet man mit Hilfe der Leibnitzformel:

\[\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right)\]

wobei hier über alle möglichen Permutationen

\[\sigma \in S_n\]
summiert wird.
\[{sgn}(\sigma)\]
bezeichnet das Signum der Permutation.

 

Dies ist eine komplizite Formel und für den Anwendungsfall eher unbrauchbar.


Wie berechnet man eine Determinante in der Praxis?

  • Die Matrix auf obere Dreiecksform bringen (Zeilenumformungen verändern die Determinante nicht), dann ist das Produkt der Diagonalenelemente die gesuchte Determinante:
    zum Beispiel:
    \[\left|\begin{array}{ccccc}
    1 & 12 & -2 & 7 & -6\\
    0 & 3 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & -2 & 12 & 0\\
    0 & 0 & 0 & 1 & 28\\
    0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right|=12\]

  • Man kann nach einer Zeile oder Spalte entwickeln, dies geht wie folgt:
    \[\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
    (Entwicklung nach der
    \[j\]
    -ten Spalte)
    \[\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
    (Entwicklung nach der
    \[i\]
    -ten Zeile)

    Was heißt das genau?
    Ich erläutere die Entwicklung nach einer Spalte. Die Entwicklung nach einer Zeile erfolgt dann analog.

    Wann sollte man nach Zeilen/Spalten entwickeln?
    Am besten ist es, nach Zeilen/Spalten zu entwickeln, in der viele Nullen stehen.

    \[a_{ij}\]
    : der Eintrag, der in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht
    \[A_{ij}\]
    : das ist die Matrix, die entsteht, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte herausnimmt

    Ein Beispiel (hier wird nach der ersten Spalte entwickelt):
    \[\left|\begin{array}{cccc}
    3 & -2 & 7 & -6\\
    2 & 2 & -2 & 12\\
    0 & 12 & -9 & 52\\
    0 & 6 & 3 & 8\end{array}\right|=3\cdot(-1)^{1+1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}
    2 & -2 & 12\\
    12 & -9 & 52\\
    6 & 3 & 8\end{array}\right|+2\cdot(-1)^{2+1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}
    -2 & 7 & -6\\
    12 & -9 & 52\\
    6 & 3 & 8\end{array}\right|
    \]
  • Ist man bei einer 3x3 Matrix angekommen, so kann man die Regel von Sarrus anwenden:
    \[\left|\begin{array}{ccc}
    a & b & c\\
    d & e & f\\
    g & h & i\end{array}\right|=a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h-g\cdot e\cdot c-h\cdot f\cdot a-i\cdot d\cdot b\]
  • Eine 2x2 Determinante berechnet man so:
    \[\left|\begin{array}{cc}
    a & b\\
    c & d\end{array}\right|=a\cdot d-c\cdot b\]

Hier noch ein Beispiel für eine etwas kompliziertere Determinante:

\[\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 12 & -2 & 7 & -6\\
0 & 5 & 0 & 0 & 0\\
2 & -20 & -2 & 12 & 0\\
4 & 37 & 4 & 19 & 28\\
3 & 8 & 0 & 21 & -18\end{array}\right|=5\left|\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 7 & -6\\
2 & -2 & 12 & 0\\
4 & 4 & 19 & 28\\
3 & 0 & 21 & -18\end{array}\right|=\]

Oben wurde nach der 2. Spalte entwickelt und unten ein paar Zeilenumformungen durchgeführt und anschließend nach der 1. Spalte entwickelt.

\[=5\left|\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 7 & -6\\
0 & 2 & -2 & 12\\
0 & 12 & -9 & 52\\
0 & 6 & 0 & 0\end{array}\right|=5\cdot1\left|\begin{array}{ccc}
2 & -2 & 12\\
12 & -9 & 52\\
6 & 0 & 0\end{array}\right|=5\cdot1\cdot6\left|\begin{array}{cc}
-2 & 12\\
-9 & 52\end{array}\right|=30\cdot(-104+108)=120\]

 


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