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Eine Matrix

\[A\in M_{n,n}(K)\]
heißt nilpotent, wenn es ein
\[m\in \mathbb{N}\]
gibt, so dass
\[A^{m}=0\]
. K Körper.

 

  • Ist
    \[A\]
    nilpotent, dann folgt
    \[\det(A)=0\]


    Beweis:
    Annahme:
    \[\det(A)=\alpha\neq0\]
    mit
    \[\alpha\in K\]

    \[\Rightarrow\det(A^{m})=\alpha^{m}\neq0\]

    \[\Rightarrow\det(A^{m})\neq0\]
    für alle
    \[m\in \mathbb{N}\]

    \[\Rightarrow A^{m}\neq 0\]
    für alle
    \[m\in\mathbb{N}\]

    \[\Rightarrow A\]
    ist nicht nilpotent

    Damit folgt automatisch, dass wenn
    \[A\]
    nilpotent,
    \[A\]
    nicht invertierbar ist.
  • Ist
    \[A\]
    nilpotent, so ist
    \[E_n - A\]
    invertierbar

    Beweis:
    Sei
    \[m\in \mathbb{N}\]
    , so dass
    \[A^{m}=0\]
    gilt.
    Dann ist
    \[E_n+A+A^2+...+A^m\]
    wieder Element von
    \[M_{n,n}(K)\]
    und
    \[(E_n + A + A^2 + ... + A^m)\cdot(E_n - A) = (E_n + A + ... + A^m) - (A+A^2+...+A^{m+1}\]

    \[=E_n + A^{m+1}=E_n\]

    und
    \[(E_n - A)\cdot(E_n + A + A^2 + ... + A^m) = (E_n + A + ... + A^m) - (A+A^2+...+A^{m+1}\]

    \[=E_n + A^{m+1}=E_n\]


    Deswegen hat man schon die Inverse Matrix zu
    \[E_n -A\]
    mit
    \[E_n + A + ... + A^m\]
    gefunden.

 


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