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Wie bringe ich eine Matrix

\[A\]
auf Diagonalform
\[D\]
und wie bekommt man die Transformationsmatrix
\[T\]
? Zuerst muss man sich fragen, ist dies überhaupt möglich? Die Matrix muss natürlich quadratisch sein. Weiß man, dass sie symmetrisch ist, geht es auf jeden Fall (z.B. beim Trägheitstensor, oder Quadrupoltensor).

 

Die Diagonalform sieht so aus:

\[D=diag(d_1,d_2,...,d_n)=\left(\begin{array}{cccc}
d_{1} & 0 & ... & 0\\
0 & d_{2} & 0 & ...\\
... & 0 & ... & 0\\
0 & ... & 0 & d_{n}\end{array}\right)\]

 

Die Matrix

\[A\]
transformiert sich mit der Transformationsmatrix
\[T\]
zu
\[D\]
:

\[TAT^{-1}=D^{'}\]

Wie geht man vor?

Man muss die Eigenwerte

\[\lambda_i\]
und Eigenvektoren
\[\vec{v}_i\]
der Matrix
\[A\]
bestimmen (hier ein Artikel zum Berechnen der Eigenwerte).

Hat man dies gemacht, so kann man direkt die Diagonalmatrix

\[D\]
angeben, welche sich aus den Eigenwerten zusammensetzt:

 

\[D=D=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & ... & 0\\
0 & \lambda_2 & 0 & ...\\
... & 0 & ... & 0\\
0 & ... & 0 & \lambda_n\end{array}\right)\]

 

Die Spalten der Transformationsmatrix bestehen dann aus den Eigenvektoren

\[\vec{v}_i\]
der Matrix
\[A\]
:

 

\[T=\left(\begin{array}{cccc}
\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & ... & \vec{v}_{n}\end{array}\right)\]

Hier ein Beispiel für das Diagonalisieren einer Matrix:

\[A=\left[\begin{array}{cc}
-17 & -9\\
30 & 16\end{array}\right]\]

 

  1. Charakteristisches Polynom ausrechnen und faktorisieren
    \[\chi(t)=\det(tE-A)=\det\left[\begin{array}{cc}
    t+17 & 9\\
    -30 & t-16\end{array}\right]=...=(t-1)(t+2)\]

    \[\Rightarrow\lambda_{1}=1\]
    \[\lambda_{2}=-2\]
  2. Eigenräume berechnen
    Eigenraum
    \[V_{\lambda_1}\]
    zu
    \[\lambda_1\]
    :

    \[V_{\lambda_{1}}=\ker\left[\begin{array}{cc}
    \lambda_{1}+17 & 9\\
    -30 & \lambda_{1}-16\end{array}\right]=\ker\left[\begin{array}{cc}
    18 & 9\\
    -30 & -15\end{array}\right]\]


    Eigenraum
    \[V_{\lambda_2}\]
    zu
    \[\lambda_2\]
    :

    \[V_{\lambda_{2}}=\ker\left[\begin{array}{cc}
    \lambda_{2}+17 & 9\\
    -30 & \lambda_{2}-16\end{array}\right]=\ker\left[\begin{array}{cc}
    15 & 9\\
    -30 & -18\end{array}\right]\]


    Wie man den Kern einer Matrix bestimmt, kann man hier nachlesen.

    \[\Rightarrow V_{\lambda_{1}}=span\left(\begin{array}{c}
    -1\\
    5/3\end{array}\right)\]


    \[\Rightarrow V_{\lambda_{2}}=span\left(\begin{array}{c}
    -1\\
    2\end{array}\right)\]
  3. Transformationsmatrix bestimmen
    Die inverse Transformationsmatrix
    \[T^{-1}\]
    lässt sich aus den Eigenvektoren zusammensetzen:
    \[T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
    \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
    -1.5 & -3.5\\
    1 & 1\end{array}\right]\]


    Diese muss man nur noch invertieren und schon hat man alles was man braucht.

    \[\Rightarrow T=\left[\begin{array}{cc}
    10 & 6\\
    -10 & -5\end{array}\right]\]
  4. Probe
    \[TAT^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
    10 & 6\\
    -10 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
    -17 & -9\\
    30 & 16\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
    -1.5 & -3.5\\
    1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
    10 & 6\\
    20 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
    -1.5 & -3.5\\
    1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
    1 & 0\\
    0 & -2\end{array}\right]=D\]


    stimmt also.

 

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