{include_content_item 196}

{include_content_item 197}

Wie bekommt man die Eigenvektoren, Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix?

Als Demonstrationsobjekt soll uns die Matrix

\[A=\left (\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1\end{array}\right )\]
dienen.

 

Eigenwerte:

um die Eigenwerte

\[\lambda_i\]
einer Matrix
\[A\]
zu berechnen, die im Allgemeinen komplex sein können, muss man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen:

 

\[\chi(t)=\det(E_{n}\cdot t-A)\underset{=}{!}0\]

 

mit

\[E_n\]
ist die n-dimensionale Einheitsmatrix.

 

Im Beispiel:

\[\det(E_{n}\cdot t-A)=det(\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot t-\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1\end{array}\right))=det(\begin{array}{ccc}
t-2 & -1 & 0\\
1 & t-2 & -1\\
-1 & -1 & t-1\end{array})=\]

\[(t-2)(t-2)(t-1)+(-1)^3-(-1)(-1)(t-2)-(t-1)(1)(-1)=...=(t-2)^2(t-1)\underset{=}{!}0\]

 

Hieraus ergeben sich folgende Nullstellen:

\[\lambda_1=2\]
(doppelte Nullstelle)

\[\lambda_2=1\]
(einfache Nullstelle)

 

Eigenräume/Eigenvektoren:

Den Eigenraum (also die Vielfachen der Eigenvektoren) zu

\[\lambda_i\]
lässt sich folgendermaßen berechnen:

 

\[V_{\lambda_i}=ker(\lambda_i\cdot E_n - A)\]

 

Wie man den Kern einer Matrix berechnet steht hier.

 

Im Beispiel kommt heraus:

\[V_{\lambda_{1}}=Lin \{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1\end{array}\right)\}\]

\[V_{\lambda_{2}}=Lin \{\left(\begin{array}{c}
0.5\\
-0.5\\
1\end{array}\right)\}\]

 

Probe für den ersten Eigenvektor:

\[\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
2\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1\end{array}\right)\]

 


Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

Mathematik der Physik für Dummies (Fur Dummies)

Arbeitsbuch Mathematik: Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege