{include_content_item 196}

{include_content_item 197}

Es sei eine Basis des Vektorraums

\[V=\mathbb{R}^{3}\]
gegeben:

 

\[\vec{v_{1}}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right)\]
,
\[\vec{v_{2}}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\]
,
\[\vec{v_{3}}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\]

Wir wollen die dazu duale Basis berechnen. Was ist das und wie geht das?

 

Zu einem Vektorraum

\[V\]
kann man den dazu dualen Vektorraum
\[V*\]
definieren. In diesem Vektorraum sind die "Vektoren"  lineare Abbildungen und zwar von
\[V\]
nach
\[\mathbb{R}\]
:

 

\[V*= \{ \varphi:V\rightarrow\mathbb{R}|\text{ \varphi linear} \}\]

 

Ein beliebiges

\[\varphi(v)\in V*\]
, in das man einen Vektor
\[v \in V\]
einsetzen kann, bildet also auf eine reelle Zahl ab.

 

Genauso, wie es in

\[V\]
Basisvektoren
\[\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_2}\]
gibt, in die sich ein
\[v\in V\]
entwickeln lässt, gibt es in
\[V*\]
Basisvektoren (die Funktionen sind und duale Basis heißt), in der sich ein
\[\varphi\in V*\]
entwickeln lässt.

 

Die duale Basis enthält genauso viele Vektoren, wie die von

\[V\]
:

\[v_{1}^{*}\]
,
\[v_{2}^{*}\]
,
\[v_{2}^{*}\]

 

Da diese Elemente in

\[V*\]
leben, kann man in sie Vektoren aus
\[V\]
einsetzen:

\[v_{1}^{*}:V\rightarrow\mathbb{R}\]

\[v_{2}^{*}:V\rightarrow\mathbb{R}\]

\[v_{3}^{*}:V\rightarrow\mathbb{R}\]

Da sie eine Basis bilden, lässt sich ein

\[\varphi\]
in dieser Basis linearkombinieren:

\[\varphi=a\cdot v_{1}^{*}+b\cdot v_{2}^{*}+c\cdot v_{3}^{*}\]

 

Wie sehen diese explizit aus?

Dafür muss man wissen, wie die

\[v_{i}^{*}\]
definiert sind:

\[v_{i}^{*}(v_j)=\delta_{ij}\]

Das heißt, dass wenn ich in die i-te duale Basisfunktion den j-ten Basisvektor einsetze, bekommt man ein Kronecker-Delta, welches folgenderweise definiert ist:

\[\delta_{ij}=\begin{cases}
1 & i=j\\
0 & i\neq j\end{cases}\]

 

Nun wollen wir den ersten dualen Basisvektor ausrechnen, wobei

\[v_{1}^{*}(v)=v_{1}^{*}(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}
v_{11}^{*}\\
v_{12}^{*}\\
v_{13}^{*}\end{array}\right)=v_{11}^{*}x+v_{12}^{*}y+v_{13}^{*}z\]

und

\[\vec{v_{i}}=\left(\begin{array}{c}
v_{i1}\\
v_{i2}\\
v_{i3}\end{array}\right)\]

 

Alles, was wir machen müssen, ist in die Definition einzusetzen:

\[v_{1}^{*}(\vec{v_{1}})=\delta_{11}=1=v_{11}^{*}v_{11}+v_{12}^{*}v_{12}+v_{13}^{*}v_{13}=v_{11}^{*}1+v_{12}^{*}2+v_{13}^{*}4\]


\[v_{1}^{*}(\vec{v_{2}})=\delta_{12}=0=v_{11}^{*}v_{21}+v_{12}^{*}v_{22}+v_{13}^{*}v_{23}=v_{21}^{*}1+v_{22}^{*}0+v_{23}^{*}(-1)\]


\[v_{1}^{*}(\vec{v_{3}})=\delta_{13}=0=v_{11}^{*}v_{31}+v_{12}^{*}v_{32}+v_{13}^{*}v_{33}=v_{31}^{*}0+v_{32}^{*}1+v_{33}^{*}2\]

 

Dies ist ein einfaches lineares Gleichungssystem:

\[\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2\end{array}\right) \]

mit der Lösung

\[v_{1}^{*}(v)=\left(\begin{array}{c}
v_{11}^{*}\\
v_{12}^{*}\\
v_{13}^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
-2\\
1\end{array}\right)=1\cdot x-2\cdot y+1\cdot z\]

 

Die anderen dualen Basisvektoren ergeben sich analog zu:

\[v_{2}^{*}=\left(\begin{array}{c}
0\\
2\\
-1\end{array}\right)\]
,
\[v_{3}^{*}=\left(\begin{array}{c}
-2\\
5\\
-2\end{array}\right)\]


Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

Mathematik der Physik für Dummies (Fur Dummies)

Arbeitsbuch Mathematik: Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege