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Eine Matrix

\[A\]
beschreibt eine lineare Abbildung:

 

\[a:V\rightarrow W\]

\[v\mapsto Av=w\]
wobei
\[v\in V\]
,
\[w\in W\]

 

Eine lineare Abbildung besitzt einen nichttrivialen Kern, genau dann wenn sie nicht injektiv ist. Deswegen hat eine bijektive Abbildung keinen Kern (det !=0).

 

  • Der Kern sieht so aus:
    \[ker(A)=\left\{ v\in V|a(v)=0\right\} \]
  • Die Dimensionsformel für Kern und Bild:
    \[\text{dim }V= \text{dim im}(V) + \text{dim ker}(A)= \text{dim rang}(A) + \text{dim ker}(A)\]

 

Man muss also herausfinden, welche Vektoren von V auf die Null abgebildet werden, d.h. man muss den Vektorraum des Kerns herausfinden. Dies geschieht folgendermaßen:

  1. Matrix auf obere Dreiecksform bringen
  2. Kern ablesen

Hier anhand eines Beispiels:

  • gegeben sei die folgende Matrix:

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 4\\
    0 & 1 & 2\\
    3 & 1 & 2\end{array}\right)\]

    Man muss sie über Gaußsche Zeilenumforumgen auf obere Dreiecksform bringen:

    -> 1. Zeile - 2 * 2. Zeile, 3. Zeile - 2. Zeile:

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 2\\
    3 & 0 & 0\end{array}\right)\]

    -> 3. Zeile - 3*1. Zeile:

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 2\\
    0 & 0 & 0\end{array}\right)\]


    Sie hat nun obere Dreiecksform. Im Falle einer 3x3-Matrix sind die möglichen Formen für eine obere Dreiecksgestalt:
    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & *\\
    0 & 1 & *\\
    0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
    und
    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & * & *\\
    0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 0\end{array}\right)\]


    Man sieht, dass sie den Rang (=Anzahl der linear unabhängigen Spalten- oder Zeilenvektoren) 2 besitzt.
    Über die Dimensionsformel für Kern und Bild kann man nun die Dimension des Kerns ausrechnen:
    \[\text{dim ker}(A)= \text{dim }(V) - \text{dim rang}(A)= 3 - 2 =1\]


    Der Kern lässt sich nun folgendermaßen bestimmen:
    Die Sterne oben definieren eine Matrix, in unserem Fall
    \[B=\left( \begin{array}{c}
    0\\
    2\end{array}\right) \]


    Diese Matrix muss nun mit -1 multipliziert werden:
    \[-B=\left( \begin{array}{c}
    0\\
    -2\end{array}\right) \]


    Daraus Kann man sich jetzt einen Basisvektor des Kerns basteln. Dieser Vektor muss 3 Einträge haben, da er ja aus V stammt. Man setzt einfach eine 1 unten dran:
    \[\vec{b_1}=\left( \begin{array}{c}
    0\\
    -2\\
    1\end{array}\right) \]


    Probe:
    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 2 & 4\\
    0 & 1 & 2\\
    3 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
    0\\
    -2\\
    1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
    1*0-2*2+4*1\\
    0*0-1*2+2*1\\
    3*0-1*2+2*1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
    0\\
    0\\
    0\end{array}\right)\]


    daraus folgt, dass der Kern durch den Vektor
    \[\vec{b_1}\]
    aufgespannt wird:
    \[ker(A)=\left\{ c\cdot \vec{b_1}|c\in \mathbb{R}} \]

  • Hat die Matrix in oberer Dreiecksgestalt folgende Form:
    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & * & *\\
    0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 3 & 4\\
    0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 0\end{array}\right)\]

    dann hat die Abbildung Rang 1, also folglich der Kern die Dimension 2. Deswegen hat man zwei Basisvektoren
    \[\vec{b_1}\]
    ,
    \[\vec{b_2}\]
    des Kerns zu bestimmen:

    Die Matrix
    \[B\]
    :

    \[B=\left(\begin{array}{cc}
    3 & 4\end{array}\right)\]


    Die Matrix
    \[-B\]
    :

    \[-B=\left(\begin{array}{cc}
    -3 & -4\end{array}\right)\]


    Die Vektoren
    \[\vec{b_1}\]
    ,
    \[\vec{b_2}\]
    ergeben sich zu:
    \[\vec{b_1}=\left(\begin{array}{c}
    -3\\
    1\\
    0\end{array}\right)\]


    \[\vec{b_1}=\left(\begin{array}{c}
    -4\\
    0\\
    1\end{array}\right)\]


    Man muss also die Matrix -B in Spalten zerlegen und je nachdem welche Dimension man zur Vervollständigung für einen Vektor aus V benötigt, die Einheitsvektoren anhängen.
    Hier waren es die Einheitsvektoren
    \[e_1=\left( \begin{array}{c}
    1\\
    0\end{array}\right) \]
    und
    \[e_2=\left( \begin{array}{c}
    0\\
    1\end{array}\right) \]

 

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