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Das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren kann dazu verwendet werden, aus einer Basis eines Vektorraums eine Orthonormalbasis zu konstruieren.

Dies kann man z.B. auch in Funktionenvektorräumen machen. Dazu benötigt man allerdings immer ein Skalarprodukt. In unserem Beispiel nehmen wir das Standardskalarprodukt des

\[\mathbb{R}^3\]
.

 

Das Standardskalarprodukt is fogendermaßen definiert:

\[\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\]

 

Aus diesem kann man sich sofort eine Norm bauen:

\[\left\Vert \vec{a}\right\Vert =\sqrt{\langle\vec{a},\vec{a}\rangle}=\sqrt{a_{1}a_{1}+a_{2}a_{2}+a_{3}a_{3}}\]

 

Wenn man nun eine Basis

\[\left\{\vec{w}_{i}\right\} _{i=1,...,n}\]
gegeben hat, kann man sich eine zugehörige Orthonormalbasis
\[\left\{\vec{v}_{i}\right\} _{i=1,...,n}\]
folgendermaßen konstruieren:

 

\[\vec{v}_{n}=\frac{\vec{w}_{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\langle\vec{w}_{n},\vec{v}_{i}\rangle\vec{v}_{i}}{||\vec{w}_{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\langle\vec{w}_{n},\vec{v}_{i}\rangle\vec{v}_{i}|| }\]

Hier ein kleines Beispiel:

Gegeben ist die Basis

\[\vec{w}_{1}=\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
0\end{array}\right),\vec{w}_{2}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1\end{array}\right),\vec{w}_{3}=\left(\begin{array}{c}
0\\
3\\
0\end{array}\right)\]

 

  • Den ersten Basisvektor
    \[\vec{v}_1\]
    berechnet man zu:

    \[\vec{v}_{1}=\frac{\vec{w}_{1}}{||\vec{w}_{1}||}=\left(\begin{array}{c}
    2\\
    0\\
    0\end{array}\right)/\sqrt{4}=\left(\begin{array}{c}
    1\\
    0\\
    0\end{array}\right)\]
  • Der zweite
    \[\vec{v}_2\]
    :

    \[\vec{v}_{2}=\frac{\vec{w}_{2}-\langle\vec{w}_{2},\vec{v}_{1}\rangle\vec{v}_{1}}{||\vec{w}_{2}-\langle\vec{w}_{2},\vec{v}_{1}\rangle\vec{v}_{1}||}\]


    wobei
    \[\vec{w}_{2}-\langle\vec{w}_{2},\vec{v}_{1}\rangle\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}
    1\\
    0\\
    1\end{array}\right)-(1\cdot1+0\cdot0+1\cdot0)\left(\begin{array}{c}
    1\\
    0\\
    0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
    0\\
    0\\
    1\end{array}\right)\]

    und
    \[\vec{||w}_{2}-\langle\vec{w}_{2},\vec{v}_{1}\rangle\vec{v}_{1}||=1\]


    also
    \[\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}
    0\\
    0\\
    1\end{array}\right)\]
  • Der dritte
    \[\vec{v}_3\]
    :

    \[\vec{v}_{3}=\frac{\vec{w}_{3}-\langle\vec{w}_{3},\vec{v}_{1}\rangle\vec{v}_{1}-\langle\vec{w}_{3},\vec{v}_{2}\rangle\vec{v}_{2}}{\left\Vert \vec{w}_{3}-\langle\vec{w}_{3},\vec{v}_{1}\rangle\vec{v}_{1}-\langle\vec{w}_{3},\vec{v}_{2}\rangle\vec{v}_{2}\right\Vert }\]

    also ist
    \[\vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{c}
    0\\
    1\\
    0\end{array}\right)\]

Dies ist, wie man leicht sieht eine Orthonormalbasis.


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