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Wie invertiert man eine Matrix? Als erstes sollte man überprüfen, ob die Matrix eine nxn Matrix ist und durch Berechnung der Determinante feststellen, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist (Determinante != 0).

Das Invertieren geschieht durch simultane Zeilenumformungen. Man schreibt die zu invertierende Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander und bringt durch gleichzeitige Zeilenumformungen die zu invertierende Matrix auf die Einheitsform. Dabei ergibt sich am Schluss dann die inverse Matrix.

Zeilenumformungen sind:

  • Vertauschen zweier Zeilen
  • Addition oder Multiplikation eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen (aber bitte nicht mit 0 Multiplizieren)
  • Multiplikation oder Division einer Zeile mit einer Zahl (ungleich 0)

Als kleines Beispiel:

Aufgabe: Suche die inverse Matrix zu

\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 3\\
2 & 1 & 0\\
4 & 1 & 2\end{array}\right)\]

Rechnung:

  1. Schritt: schreibe die Matrix und die Einheitsmatrix an:

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 3\\
    2 & 1 & 0\\
    4 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 1\end{array}\right)\]
  2. Schritt: versuche die linke Matrix auf die Einheitsmatrix zu bringen.
    Fange an mit [2]-2*[1] (das heißt: nehme die zweite Zeile und ziehe das 2-fache der ersten Zeile ab).
    Außerdem noch [3]-4*[1].

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 3\\
    0 & 1 & -6\\
    0 & 1 & -10\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    -2 & 1 & 0\\
    -4 & 0 & 1\end{array}\right)\]
  3. Schritt: [3]-[2]

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 3\\
    0 & 1 & -6\\
    0 & 0 & -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    -2 & 1 & 0\\
    -2 & -1 & 1\end{array}\right)\]
  4. Schritt: [3]/(-4) (dritte Zeile durch -4 teilen)

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 3\\
    0 & 1 & -6\\
    0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    -2 & 1 & 0\\
    \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\end{array}\right)\]
  5. Schritt: [2]+6*[3]; [1]-3*[3]

    \[\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
    -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{3}{4}\\
    1 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2}\\
    \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\end{array}\right)\]

Jetzt steht links die Einheitsmatrix und rechts die gesuchte inverse Matrix.

 

Probe:

\[\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 3\\
2 & 1 & 0\\
4 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{3}{4}\\
1 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\end{array}\right)\]

 

Danke an Fuch für das Auffinden mehrerer Fehler!

 


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Man hat folgendes Problem:

Finde die Lösung folgender quadratischen Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel:

\[0=ax^{2}+bx+c\]

Die Lösung lautet dann:

\[x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

Dies ist die sogenannte Mitternachtsformel oder auch Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

 


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