Dimensionsformel:


\[U,\,V\]
  seien Unterräume von
\[\mathbb{R}^{n}\]
.

\[U+V:=\left\{ x+y\,|\, x\in U\wedge y\in V\right\}\]
.

Es gilt dann

\[\dim\left(U+V\right)=\dim U+\dim V-\dim\left(U\cap V\right)\]
.

Affiner Unterraum:


Ist

\[U\]
  ein Unterraum des
\[\mathbb{R}^{n}\]

und

\[y\in\mathbb{R}^{n}\]
,

so heißt die Vektormenge

\[y+U:=\left\{ y+x\,|\, x\in U\right\}\]
affiner Unterraum

mit

\[\dim\left(y+U\right):=\dim U\]
.

 

Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

Mathematik der Physik für Dummies (Fur Dummies)

Arbeitsbuch Mathematik: Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege

{include_content_item 196}

{include_content_item 197}

Die Determinante einer

\[n\times n\]
-Matrix brerechnet man mit Hilfe der Leibnitzformel:

\[\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right)\]

wobei hier über alle möglichen Permutationen

\[\sigma \in S_n\]
summiert wird.
\[{sgn}(\sigma)\]
bezeichnet das Signum der Permutation.

 

Dies ist eine komplizite Formel und für den Anwendungsfall eher unbrauchbar.


Wie berechnet man eine Determinante in der Praxis?

  • Die Matrix auf obere Dreiecksform bringen (Zeilenumformungen verändern die Determinante nicht), dann ist das Produkt der Diagonalenelemente die gesuchte Determinante:
    zum Beispiel:
    \[\left|\begin{array}{ccccc}
    1 & 12 & -2 & 7 & -6\\
    0 & 3 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & -2 & 12 & 0\\
    0 & 0 & 0 & 1 & 28\\
    0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right|=12\]

  • Man kann nach einer Zeile oder Spalte entwickeln, dies geht wie folgt:
    \[\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
    (Entwicklung nach der
    \[j\]
    -ten Spalte)
    \[\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}\]
    (Entwicklung nach der
    \[i\]
    -ten Zeile)

    Was heißt das genau?
    Ich erläutere die Entwicklung nach einer Spalte. Die Entwicklung nach einer Zeile erfolgt dann analog.

    Wann sollte man nach Zeilen/Spalten entwickeln?
    Am besten ist es, nach Zeilen/Spalten zu entwickeln, in der viele Nullen stehen.

    \[a_{ij}\]
    : der Eintrag, der in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht
    \[A_{ij}\]
    : das ist die Matrix, die entsteht, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte herausnimmt

    Ein Beispiel (hier wird nach der ersten Spalte entwickelt):
    \[\left|\begin{array}{cccc}
    3 & -2 & 7 & -6\\
    2 & 2 & -2 & 12\\
    0 & 12 & -9 & 52\\
    0 & 6 & 3 & 8\end{array}\right|=3\cdot(-1)^{1+1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}
    2 & -2 & 12\\
    12 & -9 & 52\\
    6 & 3 & 8\end{array}\right|+2\cdot(-1)^{2+1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}
    -2 & 7 & -6\\
    12 & -9 & 52\\
    6 & 3 & 8\end{array}\right|
    \]
  • Ist man bei einer 3x3 Matrix angekommen, so kann man die Regel von Sarrus anwenden:
    \[\left|\begin{array}{ccc}
    a & b & c\\
    d & e & f\\
    g & h & i\end{array}\right|=a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h-g\cdot e\cdot c-h\cdot f\cdot a-i\cdot d\cdot b\]
  • Eine 2x2 Determinante berechnet man so:
    \[\left|\begin{array}{cc}
    a & b\\
    c & d\end{array}\right|=a\cdot d-c\cdot b\]

Hier noch ein Beispiel für eine etwas kompliziertere Determinante:

\[\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 12 & -2 & 7 & -6\\
0 & 5 & 0 & 0 & 0\\
2 & -20 & -2 & 12 & 0\\
4 & 37 & 4 & 19 & 28\\
3 & 8 & 0 & 21 & -18\end{array}\right|=5\left|\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 7 & -6\\
2 & -2 & 12 & 0\\
4 & 4 & 19 & 28\\
3 & 0 & 21 & -18\end{array}\right|=\]

Oben wurde nach der 2. Spalte entwickelt und unten ein paar Zeilenumformungen durchgeführt und anschließend nach der 1. Spalte entwickelt.

\[=5\left|\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 7 & -6\\
0 & 2 & -2 & 12\\
0 & 12 & -9 & 52\\
0 & 6 & 0 & 0\end{array}\right|=5\cdot1\left|\begin{array}{ccc}
2 & -2 & 12\\
12 & -9 & 52\\
6 & 0 & 0\end{array}\right|=5\cdot1\cdot6\left|\begin{array}{cc}
-2 & 12\\
-9 & 52\end{array}\right|=30\cdot(-104+108)=120\]

 


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Eine Matrix

\[A\in M_{n,n}(K)\]
heißt nilpotent, wenn es ein
\[m\in \mathbb{N}\]
gibt, so dass
\[A^{m}=0\]
. K Körper.

 

  • Ist
    \[A\]
    nilpotent, dann folgt
    \[\det(A)=0\]


    Beweis:
    Annahme:
    \[\det(A)=\alpha\neq0\]
    mit
    \[\alpha\in K\]

    \[\Rightarrow\det(A^{m})=\alpha^{m}\neq0\]

    \[\Rightarrow\det(A^{m})\neq0\]
    für alle
    \[m\in \mathbb{N}\]

    \[\Rightarrow A^{m}\neq 0\]
    für alle
    \[m\in\mathbb{N}\]

    \[\Rightarrow A\]
    ist nicht nilpotent

    Damit folgt automatisch, dass wenn
    \[A\]
    nilpotent,
    \[A\]
    nicht invertierbar ist.
  • Ist
    \[A\]
    nilpotent, so ist
    \[E_n - A\]
    invertierbar

    Beweis:
    Sei
    \[m\in \mathbb{N}\]
    , so dass
    \[A^{m}=0\]
    gilt.
    Dann ist
    \[E_n+A+A^2+...+A^m\]
    wieder Element von
    \[M_{n,n}(K)\]
    und
    \[(E_n + A + A^2 + ... + A^m)\cdot(E_n - A) = (E_n + A + ... + A^m) - (A+A^2+...+A^{m+1}\]

    \[=E_n + A^{m+1}=E_n\]

    und
    \[(E_n - A)\cdot(E_n + A + A^2 + ... + A^m) = (E_n + A + ... + A^m) - (A+A^2+...+A^{m+1}\]

    \[=E_n + A^{m+1}=E_n\]


    Deswegen hat man schon die Inverse Matrix zu
    \[E_n -A\]
    mit
    \[E_n + A + ... + A^m\]
    gefunden.

 


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Wie bringe ich eine Matrix

\[A\]
auf Diagonalform
\[D\]
und wie bekommt man die Transformationsmatrix
\[T\]
? Zuerst muss man sich fragen, ist dies überhaupt möglich? Die Matrix muss natürlich quadratisch sein. Weiß man, dass sie symmetrisch ist, geht es auf jeden Fall (z.B. beim Trägheitstensor, oder Quadrupoltensor).

 

Die Diagonalform sieht so aus:

\[D=diag(d_1,d_2,...,d_n)=\left(\begin{array}{cccc}
d_{1} & 0 & ... & 0\\
0 & d_{2} & 0 & ...\\
... & 0 & ... & 0\\
0 & ... & 0 & d_{n}\end{array}\right)\]

 

Die Matrix

\[A\]
transformiert sich mit der Transformationsmatrix
\[T\]
zu
\[D\]
:

\[TAT^{-1}=D^{'}\]

Wie geht man vor?

Man muss die Eigenwerte

\[\lambda_i\]
und Eigenvektoren
\[\vec{v}_i\]
der Matrix
\[A\]
bestimmen (hier ein Artikel zum Berechnen der Eigenwerte).

Hat man dies gemacht, so kann man direkt die Diagonalmatrix

\[D\]
angeben, welche sich aus den Eigenwerten zusammensetzt:

 

\[D=D=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & ... & 0\\
0 & \lambda_2 & 0 & ...\\
... & 0 & ... & 0\\
0 & ... & 0 & \lambda_n\end{array}\right)\]

 

Die Spalten der Transformationsmatrix bestehen dann aus den Eigenvektoren

\[\vec{v}_i\]
der Matrix
\[A\]
:

 

\[T=\left(\begin{array}{cccc}
\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & ... & \vec{v}_{n}\end{array}\right)\]

Hier ein Beispiel für das Diagonalisieren einer Matrix:

\[A=\left[\begin{array}{cc}
-17 & -9\\
30 & 16\end{array}\right]\]

 

  1. Charakteristisches Polynom ausrechnen und faktorisieren
    \[\chi(t)=\det(tE-A)=\det\left[\begin{array}{cc}
    t+17 & 9\\
    -30 & t-16\end{array}\right]=...=(t-1)(t+2)\]

    \[\Rightarrow\lambda_{1}=1\]
    \[\lambda_{2}=-2\]
  2. Eigenräume berechnen
    Eigenraum
    \[V_{\lambda_1}\]
    zu
    \[\lambda_1\]
    :

    \[V_{\lambda_{1}}=\ker\left[\begin{array}{cc}
    \lambda_{1}+17 & 9\\
    -30 & \lambda_{1}-16\end{array}\right]=\ker\left[\begin{array}{cc}
    18 & 9\\
    -30 & -15\end{array}\right]\]


    Eigenraum
    \[V_{\lambda_2}\]
    zu
    \[\lambda_2\]
    :

    \[V_{\lambda_{2}}=\ker\left[\begin{array}{cc}
    \lambda_{2}+17 & 9\\
    -30 & \lambda_{2}-16\end{array}\right]=\ker\left[\begin{array}{cc}
    15 & 9\\
    -30 & -18\end{array}\right]\]


    Wie man den Kern einer Matrix bestimmt, kann man hier nachlesen.

    \[\Rightarrow V_{\lambda_{1}}=span\left(\begin{array}{c}
    -1\\
    5/3\end{array}\right)\]


    \[\Rightarrow V_{\lambda_{2}}=span\left(\begin{array}{c}
    -1\\
    2\end{array}\right)\]
  3. Transformationsmatrix bestimmen
    Die inverse Transformationsmatrix
    \[T^{-1}\]
    lässt sich aus den Eigenvektoren zusammensetzen:
    \[T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
    \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
    -1.5 & -3.5\\
    1 & 1\end{array}\right]\]


    Diese muss man nur noch invertieren und schon hat man alles was man braucht.

    \[\Rightarrow T=\left[\begin{array}{cc}
    10 & 6\\
    -10 & -5\end{array}\right]\]
  4. Probe
    \[TAT^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
    10 & 6\\
    -10 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
    -17 & -9\\
    30 & 16\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
    -1.5 & -3.5\\
    1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
    10 & 6\\
    20 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
    -1.5 & -3.5\\
    1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
    1 & 0\\
    0 & -2\end{array}\right]=D\]


    stimmt also.

 

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