Jänich: Funktionentheorie

1 Komplexe Differenzierbarkeit

  • \[f(z)=u(z)+iv(z)\]
  • \[z=x+iy\]
    mit
    \[x,y\in\mathbb{R}\]
  • f(z) komplex differenzierbar (holomorph)
    \[\Leftrightarrow\]
  • \[\underset{z\rightarrow z_{0}}{lim}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\]
    existiert
    \[\Leftrightarrow\]
  • total differenzierbar (
    \[\mathbb{R}\]
    ) und
    \[df\]
    hat die Form einer Drehstreckung
    \[\Leftrightarrow\]
  • Riemanngleichungen sind erfüllt:

\[u_{x}=v_{y}\]

\[u_{y}=-v_{x}\]

2 Potenz- und Laurentreihen

  1. Potenzreihen:
    \[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0}) \]
    Potenzreihenentwicklung um
    \[z_{0}\]
    mit 
    \[a_{n}\in\mathbb{C}\]
  2. Laurentreihen:
    \[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})\]
    Laurentreihenentwicklung um
    \[z_{0}\]
    mit
    \[a_{n}\in\mathbb{C}\]

3 Komplexe Kurvenintegrale

  1. Lininenintegral:
    \[\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\dot{\gamma}(t)dt\]

    wenn f eine Stammfunktion F hat:
    \[\int_{\gamma}f(z)=F(b)-F(a)\]
  2. Bei geschlossenem Integrationsweg und f hat Stammfunktion:
    \[\oint_{\gamma}f(z)=0\]
  3. Umlaufsintegral - wie oft umläuft ein geschlossener Weg
    \[\gamma\]
    einen Punkt
    \[z_{0}\]
    ?:
    \[\oint_{\gamma}\frac{dz}{z-z_{0}}=2\pi i\cdot v_{\gamma}(z_{0})\]
    mit
    \[v_{\gamma}(z_{0})\]
    Umlaufzahl

4 Cauchyscher Integralsatz

\[\oint_{\gamma}f(z)dz=0\]

mit

\[\gamma\]
umläuft nur Punkte an denen
\[f(z)\]
definiert ist und holomorph ist

5 Residuum und Residuensatz

  1. Definition Residuum:
    \[Res_{z_{0}}f=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-z_{0}|=\varepsilon}f(z)dz\]

    wobei
    \[\varepsilon\]
    genügend klein und
    \[f(z_{0})\]
    hat nur eine isolierte Singularität bei
    \[z_{0}\]
    .
  2. Residuensatz:
    \[\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\cdot\sum v_{\gamma}(p)\cdot Res_{p}f\]

6 Cauchyformeln

  1. für Kreisscheibe:
    \[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta-z_{0}|=r}{\oint}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\]
  2. für Kreisring:
    \[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta-z_{0}|=r}{\oint}\frac{f(\zeta)}{z-\zeta}d\zeta+\frac{1}{2\pi i}\underset{|\zeta-z_{0}|=R}{\oint}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\]

7 Potenzreihenentwicklungssatz, Differenzierbarkeit, Gebietstreue Maximumsprinzip, Identitätssatz

  1. Potenzreihenentwicklungssatz:
    Jede holomorphe Funktion
    \[f(z)\]
    lässt sich in jeder Kreisscheibe bzw. jedem Kreisring , die ganz im Definitionsgebiet enthalten sind, in eine Potenz- bzw. Laurentreihe entwickeln.
  2. Differenzierbarkeit:
    Jede holomorphe Funktion ist automatisch unendlich oft komplex differenzierbar.
  3. Gebietstreue:
    Jedes durch eine holomorphe Funktion abgebildete Gebiet ist wieder Gebiet.
  4. Identitätssatz:
    Besitzt die Menge
    \[\left\{ z\in\mathbb{C}|f(z)=g(z);f(z),g(z)\text{ holomorph}\right\}\]
      einen Häufungspunkt, so stimmen
    \[f(z)\]
    und
    \[g(z)\]
    überhaupt überein.
  5. Maximumsprinzip:
    Eine auf einem Gebiet G holomorphe, nichtkonstante Funktion
    \[f(z)\]
    kann auf G kein Betragsmaximum annehmen.