{include_content_item 196}

{include_content_item 197}

J.Stefan hat als erster gefunden, dass die Energiedichte eines schwarzen Strahlers gegeben ist durch

\[\rho_{tot}=aT^{4}\]

mit

\[a=\frac{8\pi^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}\]

Herleitung:

Man geht zunächst vom Planckschen Strahlungsgesetz aus, welches die spektrale Energiedichte beschreibt und integriert über alle Frequenzen, um die Gesamtenergie zu bekommen.

Plancksches Strahlungsgesetz: 

\[\rho\left(\nu\right)=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\]

 

\[\int_{0}^{\infty}\rho\left(\nu\right)d\nu=\frac{8\pi h}{c^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{\nu^{3}}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}d\nu=\star\]

 

Substitution:

\[\frac{h\nu}{kT}=x\]

\[d\nu=\frac{kT}{h}dx\]

\[\Rightarrow\star=\frac{8\pi k^{4}T^{4}}{h^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx=\frac{8\pi^{5}k^{4}}{c^{3}h^{3}15}T^{4}\]

 

Hier wurde verwendet, dass 

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}=\frac{\pi^{4}}{15}\]
 ist.

{include_content_item 198}