Der Kommutator ist folgendermaßen definiert:

\[[a,b]=ab-ba\]

Es gelten folgende Kommutatorrelationen / Kommutatorregeln:

  • \[[a,b]=-[b,a]\]
  • \[[\lambda a+\mu b,c]=\lambda[a,c]+\mu[b,c]\]
  • \[[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0\]
  • \[[a,bc]=[a,b]c+b[a,c]\]

Das Wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, bei welcher Wellenlänge die Plancksche Strahlungsverteilung ein Maximum hat:

\[\lambda_{max}T=\frac{hc}{4.965k}\]

Plancksche spektrale Energiedichte:

\[\rho\left(\lambda\right)=\frac{8\pi hc}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1}\]

Bestimmte nun das Maximum durch differenzieren:

\[\frac{d\rho}{d\lambda}=-\left[5\cdot\frac{8\pi hc}{\lambda^{6}}\frac{1}{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1}-\frac{8\pi hc}{\lambda^{5}}\frac{1}{\left(e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)^{2}}\cdot e^{\frac{hc}{kT\lambda}}\cdot\frac{hc}{kt\lambda^{2}}\right]=0\]

\[\Rightarrow5\left(e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1\right)-\frac{hc}{kT\lambda}\cdot e^{\frac{hc}{kT\lambda}}=0\]

Ersetzung:

\[\frac{hc}{kT\lambda}=a\leftrightarrow\lambda=\frac{hc}{akT}\]

\[\Rightarrow5e^{a}-5-ae^{a}=0\]

numerisch lösen lassen:

\[\Rightarrow a=4.965\]

\[\Rightarrow\lambda=\frac{hc}{akT}=\frac{hc}{4.965kT}\]

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J.Stefan hat als erster gefunden, dass die Energiedichte eines schwarzen Strahlers gegeben ist durch

\[\rho_{tot}=aT^{4}\]

mit

\[a=\frac{8\pi^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}\]

Herleitung:

Man geht zunächst vom Planckschen Strahlungsgesetz aus, welches die spektrale Energiedichte beschreibt und integriert über alle Frequenzen, um die Gesamtenergie zu bekommen.

Plancksches Strahlungsgesetz: 

\[\rho\left(\nu\right)=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\]

 

\[\int_{0}^{\infty}\rho\left(\nu\right)d\nu=\frac{8\pi h}{c^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{\nu^{3}}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}d\nu=\star\]

 

Substitution:

\[\frac{h\nu}{kT}=x\]

\[d\nu=\frac{kT}{h}dx\]

\[\Rightarrow\star=\frac{8\pi k^{4}T^{4}}{h^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx=\frac{8\pi^{5}k^{4}}{c^{3}h^{3}15}T^{4}\]

 

Hier wurde verwendet, dass 

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}=\frac{\pi^{4}}{15}\]
 ist.

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