Getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator

Der getriebene gedämpfte harmonische Oszillator (gghO) stellt ein wichtiges Modell in der Physik dar. Er lässt sich auf viele resonanzfähige Systeme wie zum Beispiel einer Brücke anwenden. Die Differenzialgleichung für den getriebenen gedämpften harmonischen Oszillator lautet

\[m\ddot{q}+kq+\frac{m\omega_{0}}{Q}\dot{q}=F_{0}\cos\left(\omega t\right)\]
(1)

wobei

\[F_{0}\]
  die Amplitude,
\[\omega_{0}\]
  die Frequenz der sinusförmigen anregenden Kraft sind. Q ist der Qualitätsfaktor. Oft wird auch
\[\frac{m}{Q}=\gamma\]
gesetzt.
\[\gamma\]
  heißt Dämpfungskonstante.

Harmonische Näherung

Gleichung (1) lässt sich mit dem Ansatz

\[q\left(t\right)=A\sin\left(\omega t\right)+B\cos\left(\omega t\right)\]

lösen. Ableiten ergibt

\[\dot{q}\left(t\right)=A\omega\cos\left(\omega t\right)-B\omega\sin\left(\omega t\right)\]


\[\ddot{q}\left(t\right)=-A\omega^{2}\sin\left(\omega t\right)-B\omega^{2}\cos\left(\omega t\right)\]

Einsetzen der Ableitungen in (1) ergibt für

\[t=0\]


\[-B\omega^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}A\omega+\omega_{0}^{2}B=\frac{F_{0}}{m}\]

und für

\[t=\frac{\pi}{2}\]

\[-A\omega^{2}+\omega_{0}^{2}A-\frac{\omega_{0}}{Q}B\omega=0\]

woraus sich A  und B  bestimmen lassen zu

\[A=\frac{F_{0}}{mQ}\frac{\omega\omega_{0}}{\left(\frac{\omega_{0}}{Q}\right)^{2}\omega^{2}+\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}\]

\[B=\frac{F_{0}}{m}\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\left(\frac{\omega_{0}}{Q}\right)^{2}\omega^{2}+\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}\]

Die Lösung lässt sich nun umschreiben zu

\[q\left(t\right)=A\sin\left(\omega t\right)+B\cos\left(\omega t\right)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\cos\left(\omega t-\arctan\left(A/B\right)\right)=A_{0}\cos\left(\omega t-\varphi\right)\]

mit der Amplitude

\[A_{0}\left(\omega\right)=\frac{F_{0}}{m}\frac{1}{\sqrt{\frac{\omega^{2}\omega_{0}^{2}}{Q^{2}}+\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}}\]

und der Phase

\[\varphi=\arctan\left(\frac{A}{B}\right)=\arctan\left(\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)\]