{include_content_item 196}

{include_content_item 197}

Ein starrer Draht bewegt sich auf einer Schiene in die horizontale Richtung x mit konstanter Beschleunigung a. Ein Teilchen gleitet reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwekraft, welche in die negative y-Richtung wirkt entlang.

 

 

1. Welche Gleichung beschreibt die Position des Drahtes in der x-y Ebene als Funktion der Zeit wenn bei der Zeit t=0 der Draht die Geschwindigkeit v=0 hat und durch den Ursprung des Koordinatensystems geht?

2. Verwende y als generalisierte Koordinate um die Bewegung des Teilchens zu Beschreiben und bestimme die Lagrangefunktion sowie die Lagrangegleichung.

3. Löse die Bewegungsgleichung für den Fall, dass das Teilchen bei t=0 im Ursprung in Ruhe sitzt.

 

Lösung:

1. Koordinaten:

\[y=\left(x-\frac{1}{2}at^{2}\right)\tan\alpha\]

 

2. Da y die generalisierte Koordinate ist, muss x durch y ausgedrückt werden:

\[\Rightarrow x=\frac{y}{\tan\alpha}+\frac{1}{2}at^{2}\]

\[\Rightarrow\dot{x}=\frac{\dot{y}}{\tan\alpha}+at\]

Kinetische Energie:

\[T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{m}{2}\left(\frac{\dot{y}^{2}}{\tan^{2}\alpha}+2\frac{at\dot{y}}{\tan\alpha}+a^{2}t^{2}+\dot{y}^{2}\right)\]

 

Potentielle Energie:

\[V=mgy\]

 

Lagrangefunktion:

\[\Rightarrow L=T-V=\frac{m}{2}\left(\frac{\dot{y}^{2}}{\tan^{2}\alpha}+2\frac{at\dot{y}}{\tan\alpha}+a^{2}t^{2}+\dot{y}^{2}\right)-mgy\]

 

Lagrangegleichung:

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}-\frac{\partial L}{\partial y}=0\]

\[\leftrightarrow\]

\[\frac{m}{2}\left(\frac{2\dot{y}}{\tan^{2}\alpha}+\frac{2at}{\tan\alpha}+2\dot{y}\right)+mg=\frac{m}{2}\left(\frac{2\ddot{y}}{\tan^{2}\alpha}+\frac{2a}{\tan\alpha}+2\ddot{y}\right)+mg=\]

\[=\frac{m\ddot{y}}{\tan^{2}\alpha}+\frac{ma}{\tan\alpha}+m\ddot{y}+mg=0\]

 

3. Lösung der Bewegungsgleichung

\[\ddot{y}\left(\frac{1}{\tan^{2}\alpha}+1\right)+\frac{a}{\tan\alpha}+g=0\]

\[\ddot{y}=\frac{\left(\frac{a}{\tan\alpha}+g\right)}{\left(\frac{1}{\tan^{2}\alpha}+1\right)}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}\]

\[\frac{d\dot{y}}{dt}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}\Rightarrow d\dot{y}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}dt\]

\[\Rightarrow\int_{\dot{y}_{0}=0}^{\dot{y}}d\dot{z}=\int_{t_{0}=0}^{t}-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}dt\]

\[\Leftrightarrow\dot{y}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}t\]

\[\Rightarrow y(t)=-\frac{1}{2}\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}t^{2}\]

{include_content_item 198}