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Betrachte ein ebenes Pendel in einem homogenen Gravitationsfeld. Der Aufhängepunkt des Pendels kann sich frei entlang einer horizontalen Achse bewegen. Wie lauten die Lagrange-Gleichungen und die zwei erhaltenen Größen? Was ist die physikalische Bedeutung der Größen?

 

1. Freiheitsgrade

\[x=\xi+l\cdot\cos\varphi\Rightarrow\dot{x}=\dot{\xi}+l\cdot\dot{\varphi}\cos\varphi\]

\[y=-l\cdot\cos\varphi\Rightarrow\dot{y}=l\cdot\dot{\varphi}\sin\varphi\]

2. Lagrangefunktion

\[L=T-V\]

2.1 Kinetische Energie

\[T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{m}{2}\left(\dot{\xi}^{2}+2l\dot{\xi}\dot{\varphi}\cos\varphi+l^{2}\dot{\varphi}^{2}\right)\]

2.2 Potenzielle Energie

\[V=mgy=-mgl\cos\varphi\]

\[\Rightarrow L=T-V=\frac{m}{2}\left(\dot{\xi}^{2}+2l\dot{\xi}\dot{\varphi}\cos\varphi+l^{2}\dot{\varphi}^{2}+2gl\cos\varphi\right)\]

3. Lagrangegleichungen

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0\]

für 

\[\varphi\]
:

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=lm\ddot{\xi}\cos\varphi+ml^{2}\ddot{\varphi}+mgl\sin\varphi=0\]

für 

\[\xi\]
:

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\xi}}-\frac{\partial L}{\partial\xi}=m\ddot{\xi}+ml\ddot{\varphi}\cos\varphi-ml\dot{\varphi}^{2}\sin\varphi=0\]

4. Erhaltungsgrößen

\[\frac{\partial L}{\partial\xi}=0\Rightarrow\xi\text{ zyklisch}\]

\[\Rightarrow\frac{\partial L}{\partial\dot{\xi}}=m\ddot{\xi}\text{ (Impuls) ist Erhaltungsgroesse}\]

Weitere Erhaltungsgröße: Energie, da die Lagrangefunktion von der Zeit unabhängig ist.

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