{include_content_item 178}

Eine Masse befindet sich in einem Kreiskegel, kann dort reibungsfrei gleiten, und befindet sich im Einfluss des Gravitationspotenzials.

Hier lautet die Lagrangefunktion:

\[\mathfrak{L}(r,\dot{r},\dot{\varphi})=T-V=\frac{m}{2}(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})-m\cdot g\cdot z=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha)-m\cdot g\cdot r\cos\alpha\]

mit Kugelkoordinaten:

\[x=r\cos\varphi\sin\alpha\]
,
\[y=r\sin\varphi\sin\alpha\]
,
\[z=r\cos\alpha\]

 

Der Winkel

\[\alpha\]
sei fest.

Wie lautet nun die Hamiltonfunktion und die Bewegungsgleichungen?

 

Als erstes muss man die kanonischen Impulse der verallgemeinerten Koordinaten ausrechnen (hier zwei Freiheitsgrade

\[r\]
und
\[\varphi\]
):

\[p_{r}=\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial\dot{r}}=m\dot{r}\]
und
\[p_{\varphi}=\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial\dot{\varphi}}=mr^{2}\dot{\varphi}\sin^{2}\alpha\]

{include_content_item 182}

Die Hamiltonfunktion ergibt sich allgemein als:

\[H\left(q_{i},p_{i}\right)=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-\mathfrak{L}\]

 

Hier:

\[H(r,p_{r},p_{\varphi})=p_{r}\dot{r}+p_{\varphi}\dot{\varphi}-\mathfrak{L}=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha)+m\cdot g\cdot r\cos\alpha=\]

\[\frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2m\cdot r^{2}\cdot\sin^{2}\alpha}+m\cdot g\cdot r\cos\alpha\]

 

Damit kann man sich die hamiltonischen Gleichungen ausrechnen:

Kräfte:

\[\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{m\cdot r^{3}\cdot\sin^{2}\alpha}m\cdot g\cos\alpha\]

\[\dot{p}_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0\]

Geschwindigkeiten:

\[\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}\]

\[\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}\]