Getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator

Der getriebene gedämpfte harmonische Oszillator (gghO) stellt ein wichtiges Modell in der Physik dar. Er lässt sich auf viele resonanzfähige Systeme wie zum Beispiel einer Brücke anwenden. Die Differenzialgleichung für den getriebenen gedämpften harmonischen Oszillator lautet

\[m\ddot{q}+kq+\frac{m\omega_{0}}{Q}\dot{q}=F_{0}\cos\left(\omega t\right)\]
(1)

wobei

\[F_{0}\]
  die Amplitude,
\[\omega_{0}\]
  die Frequenz der sinusförmigen anregenden Kraft sind. Q ist der Qualitätsfaktor. Oft wird auch
\[\frac{m}{Q}=\gamma\]
gesetzt.
\[\gamma\]
  heißt Dämpfungskonstante.

Harmonische Näherung

Gleichung (1) lässt sich mit dem Ansatz

\[q\left(t\right)=A\sin\left(\omega t\right)+B\cos\left(\omega t\right)\]

lösen. Ableiten ergibt

\[\dot{q}\left(t\right)=A\omega\cos\left(\omega t\right)-B\omega\sin\left(\omega t\right)\]


\[\ddot{q}\left(t\right)=-A\omega^{2}\sin\left(\omega t\right)-B\omega^{2}\cos\left(\omega t\right)\]

Einsetzen der Ableitungen in (1) ergibt für

\[t=0\]


\[-B\omega^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}A\omega+\omega_{0}^{2}B=\frac{F_{0}}{m}\]

und für

\[t=\frac{\pi}{2}\]

\[-A\omega^{2}+\omega_{0}^{2}A-\frac{\omega_{0}}{Q}B\omega=0\]

woraus sich A  und B  bestimmen lassen zu

\[A=\frac{F_{0}}{mQ}\frac{\omega\omega_{0}}{\left(\frac{\omega_{0}}{Q}\right)^{2}\omega^{2}+\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}\]

\[B=\frac{F_{0}}{m}\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\left(\frac{\omega_{0}}{Q}\right)^{2}\omega^{2}+\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}\]

Die Lösung lässt sich nun umschreiben zu

\[q\left(t\right)=A\sin\left(\omega t\right)+B\cos\left(\omega t\right)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\cos\left(\omega t-\arctan\left(A/B\right)\right)=A_{0}\cos\left(\omega t-\varphi\right)\]

mit der Amplitude

\[A_{0}\left(\omega\right)=\frac{F_{0}}{m}\frac{1}{\sqrt{\frac{\omega^{2}\omega_{0}^{2}}{Q^{2}}+\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}}}\]

und der Phase

\[\varphi=\arctan\left(\frac{A}{B}\right)=\arctan\left(\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)\]

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Ein starrer Draht bewegt sich auf einer Schiene in die horizontale Richtung x mit konstanter Beschleunigung a. Ein Teilchen gleitet reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwekraft, welche in die negative y-Richtung wirkt entlang.

 

 

1. Welche Gleichung beschreibt die Position des Drahtes in der x-y Ebene als Funktion der Zeit wenn bei der Zeit t=0 der Draht die Geschwindigkeit v=0 hat und durch den Ursprung des Koordinatensystems geht?

2. Verwende y als generalisierte Koordinate um die Bewegung des Teilchens zu Beschreiben und bestimme die Lagrangefunktion sowie die Lagrangegleichung.

3. Löse die Bewegungsgleichung für den Fall, dass das Teilchen bei t=0 im Ursprung in Ruhe sitzt.

 

Lösung:

1. Koordinaten:

\[y=\left(x-\frac{1}{2}at^{2}\right)\tan\alpha\]

 

2. Da y die generalisierte Koordinate ist, muss x durch y ausgedrückt werden:

\[\Rightarrow x=\frac{y}{\tan\alpha}+\frac{1}{2}at^{2}\]

\[\Rightarrow\dot{x}=\frac{\dot{y}}{\tan\alpha}+at\]

Kinetische Energie:

\[T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{m}{2}\left(\frac{\dot{y}^{2}}{\tan^{2}\alpha}+2\frac{at\dot{y}}{\tan\alpha}+a^{2}t^{2}+\dot{y}^{2}\right)\]

 

Potentielle Energie:

\[V=mgy\]

 

Lagrangefunktion:

\[\Rightarrow L=T-V=\frac{m}{2}\left(\frac{\dot{y}^{2}}{\tan^{2}\alpha}+2\frac{at\dot{y}}{\tan\alpha}+a^{2}t^{2}+\dot{y}^{2}\right)-mgy\]

 

Lagrangegleichung:

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}-\frac{\partial L}{\partial y}=0\]

\[\leftrightarrow\]

\[\frac{m}{2}\left(\frac{2\dot{y}}{\tan^{2}\alpha}+\frac{2at}{\tan\alpha}+2\dot{y}\right)+mg=\frac{m}{2}\left(\frac{2\ddot{y}}{\tan^{2}\alpha}+\frac{2a}{\tan\alpha}+2\ddot{y}\right)+mg=\]

\[=\frac{m\ddot{y}}{\tan^{2}\alpha}+\frac{ma}{\tan\alpha}+m\ddot{y}+mg=0\]

 

3. Lösung der Bewegungsgleichung

\[\ddot{y}\left(\frac{1}{\tan^{2}\alpha}+1\right)+\frac{a}{\tan\alpha}+g=0\]

\[\ddot{y}=\frac{\left(\frac{a}{\tan\alpha}+g\right)}{\left(\frac{1}{\tan^{2}\alpha}+1\right)}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}\]

\[\frac{d\dot{y}}{dt}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}\Rightarrow d\dot{y}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}dt\]

\[\Rightarrow\int_{\dot{y}_{0}=0}^{\dot{y}}d\dot{z}=\int_{t_{0}=0}^{t}-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}dt\]

\[\Leftrightarrow\dot{y}=-\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}t\]

\[\Rightarrow y(t)=-\frac{1}{2}\frac{a\tan\alpha+g\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}t^{2}\]

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Betrachte ein ebenes Pendel in einem homogenen Gravitationsfeld. Der Aufhängepunkt des Pendels kann sich frei entlang einer horizontalen Achse bewegen. Wie lauten die Lagrange-Gleichungen und die zwei erhaltenen Größen? Was ist die physikalische Bedeutung der Größen?

 

1. Freiheitsgrade

\[x=\xi+l\cdot\cos\varphi\Rightarrow\dot{x}=\dot{\xi}+l\cdot\dot{\varphi}\cos\varphi\]

\[y=-l\cdot\cos\varphi\Rightarrow\dot{y}=l\cdot\dot{\varphi}\sin\varphi\]

2. Lagrangefunktion

\[L=T-V\]

2.1 Kinetische Energie

\[T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{m}{2}\left(\dot{\xi}^{2}+2l\dot{\xi}\dot{\varphi}\cos\varphi+l^{2}\dot{\varphi}^{2}\right)\]

2.2 Potenzielle Energie

\[V=mgy=-mgl\cos\varphi\]

\[\Rightarrow L=T-V=\frac{m}{2}\left(\dot{\xi}^{2}+2l\dot{\xi}\dot{\varphi}\cos\varphi+l^{2}\dot{\varphi}^{2}+2gl\cos\varphi\right)\]

3. Lagrangegleichungen

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0\]

für 

\[\varphi\]
:

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=lm\ddot{\xi}\cos\varphi+ml^{2}\ddot{\varphi}+mgl\sin\varphi=0\]

für 

\[\xi\]
:

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\xi}}-\frac{\partial L}{\partial\xi}=m\ddot{\xi}+ml\ddot{\varphi}\cos\varphi-ml\dot{\varphi}^{2}\sin\varphi=0\]

4. Erhaltungsgrößen

\[\frac{\partial L}{\partial\xi}=0\Rightarrow\xi\text{ zyklisch}\]

\[\Rightarrow\frac{\partial L}{\partial\dot{\xi}}=m\ddot{\xi}\text{ (Impuls) ist Erhaltungsgroesse}\]

Weitere Erhaltungsgröße: Energie, da die Lagrangefunktion von der Zeit unabhängig ist.

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Eine Masse befindet sich in einem Kreiskegel, kann dort reibungsfrei gleiten, und befindet sich im Einfluss des Gravitationspotenzials.

Hier lautet die Lagrangefunktion:

\[\mathfrak{L}(r,\dot{r},\dot{\varphi})=T-V=\frac{m}{2}(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})-m\cdot g\cdot z=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha)-m\cdot g\cdot r\cos\alpha\]

mit Kugelkoordinaten:

\[x=r\cos\varphi\sin\alpha\]
,
\[y=r\sin\varphi\sin\alpha\]
,
\[z=r\cos\alpha\]

 

Der Winkel

\[\alpha\]
sei fest.

Wie lautet nun die Hamiltonfunktion und die Bewegungsgleichungen?

 

Als erstes muss man die kanonischen Impulse der verallgemeinerten Koordinaten ausrechnen (hier zwei Freiheitsgrade

\[r\]
und
\[\varphi\]
):

\[p_{r}=\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial\dot{r}}=m\dot{r}\]
und
\[p_{\varphi}=\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial\dot{\varphi}}=mr^{2}\dot{\varphi}\sin^{2}\alpha\]

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Die Hamiltonfunktion ergibt sich allgemein als:

\[H\left(q_{i},p_{i}\right)=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-\mathfrak{L}\]

 

Hier:

\[H(r,p_{r},p_{\varphi})=p_{r}\dot{r}+p_{\varphi}\dot{\varphi}-\mathfrak{L}=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha)+m\cdot g\cdot r\cos\alpha=\]

\[\frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2m\cdot r^{2}\cdot\sin^{2}\alpha}+m\cdot g\cdot r\cos\alpha\]

 

Damit kann man sich die hamiltonischen Gleichungen ausrechnen:

Kräfte:

\[\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{m\cdot r^{3}\cdot\sin^{2}\alpha}m\cdot g\cos\alpha\]

\[\dot{p}_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0\]

Geschwindigkeiten:

\[\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}\]

\[\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}\]