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Eine kurze Vorstellung der Delta-Funktion, ihrer Eigenschaften und Beispiele, wie man damit rechnet.

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Eigenschaften der Deltafunktion:

 

  • \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(x-a)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(a-x)\,\mathrm{d}x=f(a)\]
  • \[\delta(g(x))=\sum_{i}\frac{1}{|\partial_{x}g(x_{i})|}\delta(x-x_{i})\]

Beispiele zum Rechnen:

  • \[\int_{1}^{7}(2x^{2}-18x+1)\,\delta(x-3)\,\mathrm{d}x=2\cdot3^{2}-18\cdot3+1=-35\]
  • \[\int_{1}^{7}(2x^{3}-18x^{2}+x)\,\delta(x-8)\,\mathrm{d}x=0\]
  • \[\int_{-4}^{4}(7x-1)\,\delta(bx)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{|b|}\]
  • \[\int_{a}^{\infty}\delta(x+b)\,\mathrm{d}x=\begin{cases}
    0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ -b<a\\
    \frac{1}{2} & \mathrm{f\ddot{u}r}\ -b=a\\
    1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ -b>a\end{cases}\]
  • \[\int_{-37}^{14}(x^{3}-3x+2)\,\delta(1-x)\,\mathrm{d}x=0\]
  • \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(g(x))\,\mathrm{d}x=\begin{cases}
    \sum_{i}\frac{1}{|\partial_{x}g(x_{i})|}\cdot f(x_{i}) & \mathrm{f\ddot{u}r}\, x_{i}\, Nullstellen\, von\, g\\
    0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ g\, hat\, keine\, Nullstellen\end{cases}\]

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