In diesem Artikel wird beschrieben, wie der Epsilon-Tensor definiert ist und welche Eigenschaften er hat. Außerdem werden Identitäten für Vektorfelder angeschrieben und mithilfe des Epsilon Tensors bewiesen.

Der Epsilon-(Pseudo-)Tensor:

  • \[\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}+1, & \mbox{falls }(i,j,k) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3) \mbox{ ist,} \\-1, & \mbox{falls }(i,j,k) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3) \mbox{ ist,} \\0, & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}\end{cases} \]

Eigenschaften des Epsilon-Tensors (Zusammenhang mit Kronecker-Delta) ohne Beweis:

  • \[\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jml}=\delta_{ij}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{jk}\]
  • \[\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jkl}=2\delta_{ij}\]
  • \[\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{ikl}=6\]

Identitäten für Vektorfelder:

  1. \[a\cdot(b\times c)=b\cdot(c\times a)=c\cdot(a\times b)\]
  2. \[a\times(b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)\]
  3. \[(a\times b)\cdot(c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\]
  4. \[\nabla\times(a\times b)=(b\cdot\nabla)a-b(\nabla\cdot a)+a(\nabla\cdot b)-(a\cdot\nabla)b\]
    mit
    \[\nabla_{i}=\partial_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\]

 

Beweis der Identitäten:

 

  1. \[a\cdot(b\times c)=a_{i}(e_{i}\varepsilon_{ijk}b_{j}c_{k})=a_{i}b_{j}c_{k}\varepsilon_{ijk}=a_{i}b_{j}c_{k}\varepsilon_{jki}=b_{j}(e_{j}\varepsilon_{jki}c_{k}a_{i})=\]

    \[b\cdot(c\times a)=a_{i}b_{j}c_{k}\varepsilon_{kij}=c_{k}(e_{k}\varepsilon_{kij}a_{i}b_{j})=c\cdot(a\times b)\]
  2. \[a\times(b\times c)=\varepsilon_{ijk}e_{i}a_{j}(b\times c)_{k}=\varepsilon_{ijk}e_{i}a_{j}(\varepsilon_{klm}b_{l}c_{m})=e_{i}a_{j}b_{l}c_{m}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\]

    \[e_{i}a_{j}b_{l}c_{m}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})=e_{i}a_{j}b_{l}c_{m}\delta_{il}\delta_{jm}-e_{i}a_{j}b_{l}c_{m}\delta_{im}\delta_{lj}=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)\]
  3. \[(a\times b)\cdot(c\times d)=(\varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k})_{l}(\varepsilon_{imn}c_{m}d_{n})=a_{j}b_{k}c_{m}d_{n}(\varepsilon_{jki}\varepsilon_{mni})=\]

    \[a_{j}b_{k}c_{m}d_{n}(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{mk})=a_{j}b_{k}c_{m}d_{n}\delta_{jm}\delta_{kn}-a_{j}b_{k}c_{m}d_{n}\delta_{jn}\delta_{mk}\]

    \[=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\]
  4. \[\nabla\times(a\times b)=e_{i}\varepsilon_{ijk}\partial_{j}(\varepsilon_{klm}a_{l}b_{m})=e_{i}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}b_{m}\partial_{j}a_{l}+e_{i}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}a_{l}\partial_{j}b_{m}\]

    \[=e_{i}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})b_{m}\partial_{j}a_{l}+e_{i}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})a_{l}\partial_{j}b_{m}\]

    \[=e_{l}\delta_{jm}b_{m}\partial_{j}a_{l}-e_{m}\delta_{lj}b_{m}\partial_{j}a_{l}+e_{l}\delta_{jm}a_{l}\partial_{j}b_{m}-e_{m}\delta_{lj}a_{l}\partial_{j}b_{m}\]

    \[=(b\cdot\nabla)a-b(\nabla\cdot a)+a(\nabla\cdot b)-(a\cdot\nabla)b\]